https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Kouki_Bun

2025.10.01記

[2] $\triangle\mbox{ABC}$ の内心を $\mbox{P}$ とする． $\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PB}}+\overrightarrow{\mbox{PC}}=\overrightarrow{0}$ が成り立っているとき，この三角形は正三角形であることを示せ．

2025.10.13記
内心と重心が一致する三角形が正三角形であることの証明です．

[解答]
$\triangle\mbox{ABC}$ の重心を $\mbox{G}$ とすると， $\overrightarrow{\mbox{GA}}+\overrightarrow{\mbox{GB}}+\overrightarrow{\mbox{GC}}=\overrightarrow{0}$ であるから， $\overrightarrow{\mbox{PA}}+\overrightarrow{\mbox{PB}}+\overrightarrow{\mbox{PC}}=\overrightarrow{0}$ との差をとり， $3\overrightarrow{\mbox{PG}}=0$ ，つまり $\mbox{P}=\mbox{G}$ が成立する．

このとき，3頂角の2等分線と中線が一致する．頂点 $\mbox{A}$ で考え， $\mbox{BC}$ の中点を $\mbox{M}$ とすると， $\mbox{AB}:\mbox{AC}=\mbox{BM}:\mbox{MC}=1:1$ 　が成立するので， $\mbox{AB}=\mbox{AC}$ となる．同様に $\mbox{BC}=\mbox{BA}$ となるので $\triangle\mbox{ABC}$ は正三角形である．