https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Bunkei

2025.10.01記

[5] $n$ ， $k$ は自然数で $k \leqq n$ とする．穴のあいた $2k$ 個の白玉と $2n-2k$ 個の黒玉にひもを通して輪を作る．このとき適当な2箇所でひもを切って $n$ 個ずつの2組に分け，どちらの組も白玉 $k$ 個，黒玉 $n-k$ 個からなるようにできることを示せ．

本問のテーマ

ネックレスの定理（ハムサンドウィッチの定理，ボルスク・ウラムの定理）

2025.10.13記
ネックレスの定理（ネックレスの分割問題）については

www.youtube.com

の10分50秒ぐらいの Continuous Neckless Theorem に玉を長さ1の線分を見てボルスク・ウラム（Borsuk-Ulam）の定理を適用する話があるので丸投げしておきます．

ここでは玉を長さ1の線分におきかえて連続量としてボルスク・ウラムの定理を適用するのではなく，同じ考え方で離散のまま証明します．

[解答]
輪の玉の1つを $A_1$ とし，反時計回りに順番に $A_2$ ，…， $A_{2n}$ とする．以下 mod $2n$ で考える．

$A_u$ から $A_{u+n-1}$ までの連続するの $n$ 個の玉の黒玉の数を $b(u)$ ，白玉の数を $w(u)$ とし， $g(u)=b(u)-w(u)-(n-2k)$ とおくとき， $g(u)=0$ となる $u$ が存在すれば題意が証明される．ここで $b(u)+w(u)=n$ であるから
$g(u)=n-2w(u)-(n-2k)=2(k-w(u))\equiv 0$ （mod $2$ ）
となり，常に $g(u)$ は偶数である．

ここで $g(u+1)=g(u)+2，g(u)，g(u)-2$ のいずれかとなる（黒が減って黒が追加( $\pm 0$ )，黒が減って白が追加( $-2$ )，白が減って黒が追加( $+2$ )，白が減って白が追加( $\pm 0$ )）．

また，
$g(u+n)=(2n-2k-b(u))-(2k-w(u))-(n-2k)$ $=-b(u)+w(u)+(n-2k)$ $=-g(u)$
が成立する．

(i) $g(1)=0$ のとき： $A_1〜A_{n}$ までの $n$ 個が1つの組となるように分ければ良い．

(ii) $g(1)\gt 0$ のとき：
$g(1)，…，g(n+1)$ は次が自分自身か隣りの偶数となる偶数列であり， $g(n+1)\lt 0$ となるので，どこかに $g(u)=0$ となる $u$ が少くとも1つ存在する．このとき， $A_u〜A_{u+n-1}$ （添字は mod $n$ で考える）までの $n$ 個が1つの組となるように分ければ良い．

(iii) $g(1)\lt 0$ のとき：
$g(1)，…，g(n+1)$ は次が自分自身か隣りの偶数となる偶数列であり， $g(n+1)\gt 0$ となるので，どこかに $g(u)=0$ となる $u$ が少くとも1つ存在する．このとき， $A_u〜A_{u+n-1}$ （添字は mod $n$ で考える）までの $n$ 個が1つの組となるように分ければ良い．

白玉の数だけ考えても良いでしょう．

[解答]
輪の玉の1つを $A_1$ とし，反時計回りに順番に $A_2$ ，…， $A_{2n}$ とする．以下 mod $2n$ で考える．

$A_u$ から $A_{u+n-1}$ までの連続するの $n$ 個の玉の白玉の数を $w(u)$ とし， $d(u)=w(u)-k$ とおくとき， $d(u)=0$ となる $u$ が存在すれば題意が証明される．

ここで $d(u+1)=d(u)+1，d(u)，d(u)-1$ のいずれかとなる（黒が減って黒が追加( $\pm 0$ )，黒が減って白が追加( $+1$ )，白が減って黒が追加( $-1$ )，白が減って白が追加( $\pm 0$ )）．

また，
$d(u+n)=(2k-w(u))-k$ $=-w(u)+k$ $=-d(u)$
が成立する．

(i) $d(1)=0$ のとき： $A_1〜A_{n}$ までの $n$ 個が1つの組となるように分ければ良い．

(ii) $d(1)\gt 0$ のとき：
$d(1)，…，d(n+1)$ は次が自分自身か隣りの整数となる数列であり， $d(n+1)\lt 0$ となるので，どこかに $d(u)=0$ となる $u$ が少くとも1つ存在する．このとき， $A_u〜A_{u+n-1}$ （添字は mod $n$ で考える）までの $n$ 個が1つの組となるように分ければ良い．

(iii) $d(1)\lt 0$ のとき：
$d(1)，…，d(n+1)$ は次が自分自身か隣りの整数となる数列であり， $d(n+1)\gt 0$ となるので，どこかに $d(u)=0$ となる $u$ が少くとも1つ存在する．このとき， $A_u〜A_{u+n-1}$ （添字は mod $n$ で考える）までの $n$ 個が1つの組となるように分ければ良い．

このボルスク・ウラムの定理は，駿台が出していた月刊誌 ASCENT に秋山仁先生が連載していた記事

の第1話『ミックス・バーガーを2人に公平に分けることができるか？』で始めて知りました．この記事に書いている内容は

作者:秋山仁,Ronald L.Graham
朝倉書店

を見れば良いかと思います．

2025.10.15記
Jin Akiyama kiji
によれば

「数学はミステリー秋山仁の「天才的解法のすすめ」」　は1987年7月～1988年3月までの連載となっています．全ての記事を持っている訳ではないので持っていない記事を読みたい所ではありますが，懸賞問題(JIN JIN コーナー)があって個人情報(名前と学校名)も載っているのでそのまま復刊ってことはなさそうで，読むことはできなさそうです．なお，持っている記事のほとんどが

作者:秋山仁,Ronald L.Graham
朝倉書店

に書いてあるので，この本一冊あれば十分という話もありますが．