https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Bunkei

2025.10.01記

[2] 座標空間に4点 $\mbox{A}(2，1，0)$ ， $\mbox{B}(1，0，1)$ ， $\mbox{C}(0，1，2)$ ， $\mbox{D}(1，3，7)$ がある．3点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を通る平面に関して点 $\mbox{D}$ と対称な点を $\mbox{E}$ とするとき，点 $\mbox{E}$ の座標を求めよ．

2025.10.13記
空間における平面に関する対称点を求めるには正射影ベクトルを使うのが一般的だが，座標の位置関係が単純なので暗算で解くことができる．

[解答]
直線 $\mbox{AC}$ 上の点 $(x，y，z)$ は「 $x+z=2$ かつ $y=1$ 」を満たすので，点 $\mbox{B}$ は直線 $\mbox{AB}$ 上にないので，3点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ を通る平面は一意に定まり，この平面の式は $x+z=2$ となる．点 $\mbox{D}$ は平面 $x+y=8$ 上にあり，よって点 $\mbox{E}$ は平面 $x+z=-4$ 上にある．これらで登場する平面たちの法線ベクトルは $(1，0，1)$ であり，このベクトルだけ平行移動すると $x+z$ は2増えるので $\overrightarrow{\mbox{DE}}=-6(1，0，1)$ となり，よって $\mbox{E}(-5，3，1)$ となる．

この暗算の背景には平面 $\mbox{ABC}$ が $y$ 軸に平行なので $xz$ 平面に正射影して考えることができるところにある．これを基底の変換とみると次のようになる．

[うまい解答]
$\vec{a}=(1，0，1)$ ， $\vec{b}=(1，0，-1)$ ， $\vec{c}=(0，1，0)$ とおくと $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ は直交系（正規直交系ではない）をなし
$\mbox{A}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$ ， $\mbox{B}(\vec{a})$ ， $\mbox{C}(\vec{a}-\vec{b}+\vec{c})$
が成立する．よって平面 $\mbox{ABC}$ 上の点は $\vec{a}+s\vec{b}+t\vec{c}$ と書くことができ，平面 $\mbox{ABC}$ の法線ベクトルの1つは直交系であることから $\vec{a}$ となり，点 $\mbox{X}(\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c})$ の平面 $\mbox{ABC}$ に関する対称点は $(2-\alpha)\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}$ と $\vec{a}$ の係数を $\alpha$ から $2-\alpha$ に変更すれば得られる．ここで $\mbox{D}(4\vec{a}-3\vec{b}+3\vec{c})$ であるから， $\mbox{E}(-2\vec{a}-3\vec{b}+3\vec{c})$ ，つまり $\mbox{E}(-5，3，1)$ となる．