https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2006/Bunkei

2025.10.01記

[1] 放物線 $C:y=x^2$ と2直線 $l_1:y=px-1$ ， $l_2:y=-x-p+4$ は1点で交わるという．このとき実数 $p$ の値を求めよ．

2025.10.12記

[解答]
$l_1$ と $l_2$ が交点をもつときは $p\neq -1$ のときであり，交点の座標は $\left(\dfrac{5-p}{p+1}，\dfrac{-p^2+4p-1}{p+1}\right)$ となる．これが $C_1$ 上にあるので
$\dfrac{-p^2+4p-1}{p+1}=\left(\dfrac{5-p}{p+1}\right)^2$
となる．整理して $(p-2)(p^2-13)=0$ となるので $p=2，\pm\sqrt{13}$ となる．

登場する式は実質的に同じですが，次のように解釈することも可能です．

[別解]
$y=0$ ， $y=-x^2+px-1$ ， $y=-x^2-x-p+4$ が1点で交われば良く，その必要十分条件は $x^2-px+1=0$ ， $x^2+x+p-4=0$ が共通する実数解を持つことである．

注）ここで式の差から $(p+1)x+p-5=0$ を導いて $x$ を消去すると[解答]と同じになるので方針を変える．

$x^2+x+p-4=0$ の解は $x=\dfrac{-1\pm\sqrt{17-4p}}{2}$ であるから，これを $x^2-px+1=0$ に代入すると
$-(p+1)\cdot \dfrac{-1\pm\sqrt{17-4p}}{2}-p+5=0$ ，
となるので整理して「 $(p+1)\sqrt{17-4p}=p-11$ または $(p+1)\sqrt{17-4p}=11-p$ 」が成り立てば良く，これは $(p+1)^2(17-4p)=(p-11)^2$ と同値であり，整理した $(p-2)(p^2-13)=0$ から $p=2，\pm\sqrt{13}$ を得る．

注）同じ共通解問題を解いているのだから，同じ $p$ についての3次方程式が登場するのは当然．