2006年(平成18年)京都大学前期-数学(文系)

[1] 放物線 と2直線 ， は1点で交わるという．このとき実数 の値を求めよ．

[2] 座標空間に4点 ，，， がある．3点 ，， を通る平面に関して点 と対称な点を とするとき，点 の座標を求めよ．

[3] を2次式とする．整式 は では割り切れないが， は で割り切れるという．このとき2次方程式 は重解を持つことを示せ．

[4] 関数 のグラフは，座標平面で原点に関して点対称である．さらにこのグラフの の部分は，軸が 軸に平行で，点 を頂点とし，原点を通る放物線と一致している．このとき におけるこの関数のグラフの接線とこの関数のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

[5] ， は自然数で とする．穴のあいた 個の白玉と 個の黒玉にひもを通して輪を作る．このとき適当な2箇所でひもを切って 個ずつの2組に分け，どちらの組も白玉 個，黒玉 個からなるようにできることを示せ．