https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Rikei

2025.09.24記

[6] 先頭車両から順に1から $n$ までの番号のついた $n$ 両編成の列車がある．ただし $n \geqq 2$ とする．各車両を赤色，青色，黄色のいずれか一色で塗るとき，隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか．

2025.09.28記

[解答]
題意を満たす $n$ 両編成の列車の最後尾の色が赤色，青色，黄色それぞれの場合の数を $r_n，b_n，y_n$ とおくと
$r_2=3$ ， $b_2=y_2=1$ ， $r_{n+1}=r_n+b_n+y_n$ ， $b_{n+1}=r_n$ ， $y_{n+1}=r_n$
が成立する．よって $r_3=5$ ， $r_{n+2}=r_{n+1}+2r_{n}$ （ $n\geqq 2$ ）
となり， $r_n=A2^{n-2}+B(-1)^{n-2}$ の形となり， $A+B=3$ ， $2A-B=5$ から
$A=\dfrac{8}{3}$ ， $B=\dfrac{1}{3}$
が成立する．よって求める場合の数は
$r_n+b_n+y_n=r_{n+1}=\dfrac{8\cdot 2^{n-1}+(-1)^{n-1}}{3}$ $=\dfrac{2^{n+2}+(-1)^{n-1}}{3}$
となる．