https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Rikei

2025.09.24記

[5] $k$ を正の整数とし， $2k\pi \leqq x \leqq (2k+1)\pi$ の範囲で定義された2曲線 $C_1:y=\cos x$ ， $\displaystyle C_2:y=\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$ を考える．

(1) $C_1$ と $C_2$ は共有点を持つことを示し，その点における $C_1$ の接線は点 $(0，1)$ を通ることを示せ．

(2) $C_1$ と $C_2$ の共有点はただ1つであることを証明せよ．

2025.09.28記
$t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ のとき， $\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ， $\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}$ となることを思い出そう．

(1)から共有点における $C_1$ の接線は必ず $(0，1)$ を通るので，(2)では $(0，1)$ を通る接線が唯一であることを示せば良い．

[解答]
(1) $f(x)=\cos x-\dfrac{1-x^2}{1+x^2}$ とおくと $f(2k\pi)=\dfrac{8k^2\pi^2}{1+4k^2\pi^2}\gt 0$ ，
$f((2k+1)\pi)=\dfrac{-2}{1+(2k+1)^2\pi^2}\lt 0$ であるから中間値の定理から $C_1$ と $C_2$ は共有点を持つ．

さて，共有点の $x$ 座標を $t$ とおくと， $\cos t=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ であり， $2k\pi \leqq t \leqq (2k+1)\pi$ から $\sin t\geqq 0$ となるので $\sin t=\dfrac{2t}{1+t^2}$ が成立する．よって $C_1$ における接線の方程式は $y=-(\sin t)(x-t)+\cos t$ における $y$ 切片は
$t\sin t +\cos t$ $=\dfrac{2t^2}{1+t^2}+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=1$
となり，よって共有点における $C_1$ における接線は点 $(0，1)$ を通る．

(2) (1)より共有点の座標は区間の両端ではない．
さて， $C_1$ の $x=t$ における接線の $y$ 切片 $g(t)=t\sin t+\cos t$ の $2k\pi \lt t \lt (2k+1)\pi$ における増減は $g'(t)=t\cos t$ により

$t$	$2k\pi$	$\cdots$	$\left(2k+\dfrac{1}{2}\right)\pi$	$\cdots$	$(2k+1)\pi$
$f'(t)$		$+$	$0$	$-$
$f(t)$	$(1)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$(-1)$

となるので， $y$ 切片が $1$ となるのは1回しなかく，よって(1)により共有点はただ1つである．

[うまい解答]
(2) $t=\tan\dfrac{\theta}{2}$ のとき， $\cos\theta=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$ ， $\sin\theta=\dfrac{2t}{1+t^2}$ となることと， $2k\pi \leqq x \leqq (2k+1)\pi$ から $\sin x\geqq 0$ となることから， $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は $x=\tan\dfrac{x}{2}$ を満たす．

$h(x)=\tan\dfrac{x}{2}-x$ とおくと $h'(x)=\dfrac{1}{2\cos^2\dfrac{x}{2}}-1$ から増減表は

$x$	$2k\pi$	$\cdots$	$\left(2k+\dfrac{1}{2}\right)\pi$	$\cdots$	$(2k+1)\pi$
$h'(x)$		$-$	$0$	$+$
$h(x)$	$(-2k\pi)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$(+\infty)$

となるので， $x=\tan\dfrac{x}{2}$ を満たす $x$ はただ1つのみ存在する．

直線と凸図形は高々2点でしか交わらず，内部と外部を結ぶ線分と凸図形の交点は唯一となる．

[うまい解答]
(2) $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は $x=\tan\dfrac{x}{2}$ を満たす．

$2k\pi \lt x \lt (2k+1)\pi$ で $y=\tan\dfrac{x}{2}$ は下に凸であり， $x=2k\pi$ で $x\gt \tan\dfrac{x}{2}$ ， $x$ が十分 $(2k+1)\pi$ に近いとき $x\lt \tan\dfrac{x}{2}$ となるので直線 $y=x$ と $y=\tan\dfrac{x}{2}$ はただ1回だけ交わる．

よって $x=\tan\dfrac{x}{2}$ を満たす $x$ はただ1つのみ存在する．

なお， $(2k+1)\pi \leqq x \leqq (2k+2)\pi$ における交点は $\sin x\leqq 0$ となることから $x=-\tan\dfrac{x}{2}$ を満たす．