https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Rikei

2025.09.24記

[4] $a^3-b^3=217$ を満たす整数の組 $(a，b)$ をすべて求めよ．

2025.09.28記

[解答]
$0^3=0$ ， $1^3=1$ ， $2^3=8$ ， $3^3=27$ ， $4^3=64$ ， $5^3=125$ ， $6^3=216$ ， $7^3=(50-1)\times 7=343$ ， $8^3=512$ ， $9^3=81\times 9=729$ …(★)
である．

$a^3+(-b)^3=217$ であるから，

(i) $a，-b\geqq 0$ のとき：（★）から $\{a，-b\}=\{6，1\}$ となる．

(ii) $a\gt 0\geqq -b$ のとき：
$217=a^3-b^3\geqq a^3-(a-1)^3=3a(a-1)+1$ から $1\leqq a\leqq 9$ が必要で，(★)から
$b^3=a^3-217$ が立方数となるものを探すと $(a，b)=(9，-8)$ となる．

(iii) $-b\gt 0\geqq a$ のとき：(ii) と同様にして $(a，b)=(-8，9)$ となる．

(iv) $a，-b\lt 0$ のとき： $a^3+(-b)^3\lt 0$ から不適．

以上から $(a，-b)=(9，-8)$ ， $(6，1)$ ， $(1，6)$ ， $(-8，9)$ となり， $(a，b)=(9，8)$ ， $(6，-1)$ ， $(1，-6)$ ， $(-8，-9)$ となる．

まぁ，普通は因数分解を利用する．

[解答]
$a^3\gt b^3$ より $a-b\gt 0$ であり，
$a^3-b^3=(a-b)\{(a-b)^2+3ab\}=7\times 31$
となることから $p=a-b$ ， $q=(a-b)^2+3ab$ とおくと， $a，b$ は実数であるから $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=q+\dfrac{q-p^2}{3}\geqq 0$ から $4q\geqq p^2$ が必要で， $(p，q)=(1，217)，(7，31)$ となり， $(a-b，ab)=(1，72)，(7，-6)$ となる．

$a，-b$ が $t^2-t-72=0$ または $t^2-7t+6=0$ の2解となることから $\{a，-b\}=\{9，8\}，\{6，1\}$ となり，これらは全て整数解となっているので $(a，b)=(9，8)$ ， $(6，-1)$ ， $(1，-6)$ ， $(-8，-9)$ となる．