https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Rikei

2025.09.24記

[3] $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ は相異なる複素数で， $\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0$ を満たすとする．このとき， $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ の表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か．（ただし，複素平面を複素数平面ともいう．）

本問のテーマ

複素数平面の正三角形

2025.09.25記
$\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0$ から　 $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0$ となり，
$(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2=0$
となり，正三角形となることがわかる．

[解答]
$\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=0$ から　 $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{1}{2}\{ (\alpha+\beta+\gamma)^2-(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)=0$
となる．よって $\alpha\beta\gamma=A$ とおくと $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ は $z$ の3次方程式 $z^3=A$ の3解となる．よって $\omega=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}$ とおき， $u^3=A$ をみたす複素数の1つを $u$ とおくと $\{\alpha，\beta，\gamma\}=\{u，u\omega，u\omega^2\}$ となるので， $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ の表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形は正三角形である．