https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Rikei

2025.09.24記

[2] $\displaystyle 2^{10}\lt \left(\dfrac{5}{4}\right)^n\lt 2^{20}$ を満たす自然数 $n$ は何個あるか．ただし， $0.301\lt \log_{10}2\lt 0.3011$ である．

本問のテーマ

商による誤差の伝播を利用した評価

2025.09.25記

[解答]
$10\log_{10} 2\lt n(1-3\log_{10}2)\lt 20\log_{10} 2$ から $\dfrac{10\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}\lt n\lt\dfrac{20\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}$ となる．

$31.03\cdots\lt \dfrac{3.01}{0.097}\lt\dfrac{10\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}\lt\dfrac{3.011}{0.0967}=31.13\cdots$ であり，よって
$62.06\cdots\lt\dfrac{20\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}\lt 62.3$
となるので， $n=32，33，…，62$ の $31$ 個ある．

$0\lt\delta\lt\dfrac{1}{2}$ のときに $1+\delta\lt\dfrac{1}{1-\delta}\lt 1+2\delta$ という評価を用いようとしたとき，
$\dfrac{3.01}{0.097}\gt 30.1\times1.03=31.003$ はギリギリうまく行くが， $\dfrac{3.011}{0.0967}\lt 30.11\times1.066=32.09726$ はうまく行かない．

2025.09.28記
精密に，
$0\lt\delta\lt C\lt 1$ のときに $1+\delta\lt\dfrac{1}{1-\delta}\lt 1+\dfrac{\delta}{1-C}$ と評価すると
$C=0.05$ として
$\dfrac{3.011}{0.0967}\lt 30.11\times\left(1+\dfrac{0.033}{0.95}\right)$ $=30.11\times 1.04=31.3144$
となるので評価がうまく行く．

[解答]
$0\lt\delta\lt C\lt 1$ のとき， $\dfrac{1}{1-\delta}-(1+\delta)=\dfrac{\delta^2}{1-\delta}\gt 0$ ， $1+\dfrac{\delta}{1-C}-\dfrac{1}{1-\delta}$ $=\dfrac{\delta(C-\delta)}{1-C}\gt 0$ から
$1+\delta\lt\dfrac{1}{1-\delta}\lt 1+\dfrac{\delta}{1-C}$ …(★)
が成立する．

さて，条件から $10\log_{10} 2\lt n(1-3\log_{10}2)\lt 20\log_{10} 2$ から $\dfrac{10\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}\lt n\lt\dfrac{20\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}$ となる．

ここで $\dfrac{0.301}{0.097}\lt\dfrac{10\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}\lt\dfrac{0.3011}{0.0967}$ および(★)で $C=0.05$ とおくと
$\dfrac{0.301}{0.097}=\dfrac{3.01}{0.97}\gt 3.01\times(1+0.03)=3.1003$ ，
$\dfrac{0.3011}{0.0967}=\dfrac{3.011}{0.967}\lt 3.011\times\left(1+\dfrac{0.033}{0.95}\right)$ $\lt 3.011\times\left(1+\dfrac{0.038}{0.95}\right)$ $=3.011\times 1.04=3.13144$
となり $3.1\lt\dfrac{10\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}\lt 3.15$ となるので
$31\lt \dfrac{3.01}{0.097}\lt\dfrac{10\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}\lt 31.5$ ，
$62\lt\dfrac{20\log_{10}2}{1-3\log_{10}2}\lt 63$
が成立する．よって， $n=32，33，…，62$ の $31$ 個ある．