https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Rikei

2025.09.24記

[1] $xy$ 平面上の原点と点 $(1，2)$ を結ぶ線分（両端を含む）を $L$ とする．曲線 $y=x^2+ax+b$ が $L$ と共有点を持つような実数の組 $(a，b)$ の集合を $ab$ 平面上に図示せよ．

2025.09.24記

[解答]
$f(x)=x^2+(a-2)x+b=0$ が $0\leqq x\leqq 1$ に少なくとも1つの解を持つための条件を求めれば良い．

(i) 解が1つとなる場合：
$f(0)f(1)=b(a+b-1)\leqq 0$

(ii) 解が2つとなる場合：
$f(0)=b\leqq 0$ ， $f(1)=a+b-1\leqq 0$ ，軸 $0\leqq\dfrac{a}{2}\leqq 1$ ，判別式 $(a-2)^2-4b\geqq 0$

という条件を整理して
$\begin{cases} 0\leqq b\leqq -a+1 & (a\leqq 0) \\ 0\leqq b\leqq \dfrac{(a-2)^2}{4} & (0\leqq a\leqq 1) \\ -a+1\leqq b\leqq \dfrac{(a-2)^2}{4} & (0\leqq a\leqq 2) \\ -a+1\leqq b\leqq 0 & (2\leqq a) \end{cases}$
となる（図示略）．

[大人の解答]
$y=x^2+ax+b$ が点 $(t，2t)$ （ $0\leqq t\leqq 1$ ）を通る条件から， $ab$ -平面の直線 $b=-ta+2t-t^2$ の $0\leqq t\leqq 1$ における通過範囲を求めれば良い．この直線が放物線 $b=\dfrac{(a-2)^2}{4}$ と $a=2-2t$ で接することを利用することにより，求める集合は
$\begin{cases} 0\leqq b\leqq -a+1 & (a\leqq 0) \\ 0\leqq b\leqq \dfrac{(a-2)^2}{4} & (0\leqq a\leqq 1) \\ -a+1\leqq b\leqq \dfrac{(a-2)^2}{4} & (0\leqq a\leqq 2) \\ -a+1\leqq b\leqq 0 & (2\leqq a) \end{cases}$
となる（図示略）．