https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Kouki_Ri

2025.09.24記

[6] $n$ 枚の100円玉と $n+1$ 枚の500円玉を同時に投げたとき，表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率を求めよ．

2025.09.29記
知ってないと厳しい．

[解答]
「表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率」は「裏の出た100円玉の枚数は裏の出た500円玉の枚数以上である確率」に等しく，表と裏を入れ換えることにより「表の出た100円玉の枚数は表の出た500円玉の枚数以上である確率」に等しい．

よって「表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率」も「表の出た100円玉の枚数は表の出た500円玉の枚数以上である確率」も確率は $\dfrac{1}{2}$ である．

このことを式で真面目に頑張ると次のようになる．

[別解]
表の出た500円玉の枚数を $k$ （ $1\leqq k\leqq n+1$ ）とおくと求める確率 $P$ は
$P=\dfrac{1}{2^{2n+1}}\displaystyle\sum_{0\leqq m\lt k\leqq n+1} {}_{n}\mbox{C}_{m}\cdot {}_{n+1}\mbox{C}_{k}$
となる．ここで
${}_{n}\mbox{C}_{m}\cdot {}_{n+1}\mbox{C}_{k}$ $={}_{n}\mbox{C}_{n-m}\cdot {}_{n+1}\mbox{C}_{n+1-k}$
であり， $n-m=M$ ， $n+1-k=K$ とおくと $0\leqq m\lt k\leqq n+1$ は $0\leqq n-M\lt n+1-K\leqq n+1$ ，つまり $0\leqq K\leqq M\leqq n$ となるので
$P=\dfrac{1}{2^{2n+1}}\displaystyle\sum_{0\leqq K\leqq M\leqq n} {}_{n}\mbox{C}_{M}\cdot {}_{n+1}\mbox{C}_{K}$ $=\dfrac{1}{2^{2n+1}}\displaystyle\sum_{0\leqq k\leqq m\leqq n} {}_{n}\mbox{C}_{m}\cdot {}_{n+1}\mbox{C}_{k}$
が成立する．

いま， $0\leqq m\lt k\leqq n+1$ と $0\leqq k\leqq m\leqq n$ をあわせると， $k$ （ $0〜n+1$ ）の値にかかわらず $0\leqq m\leqq n$ となるので，
$2P=\dfrac{1}{2^{2n+1}}\displaystyle\sum_{0\leqq m\leqq n}\displaystyle\sum_{0\leqq k\leqq n+1}{}_{n}\mbox{C}_{m}\cdot {}_{n+1}\mbox{C}_{k}$
$=\dfrac{1}{2^{2n+1}}\left(\displaystyle\sum_{0\leqq m\leqq n}{}_{n}\mbox{C}_{m}\right)\cdot\left(\displaystyle\sum_{0\leqq k\leqq n+1} {}_{n+1}\mbox{C}_{k}\right)$ $=\dfrac{1}{2^{2n+1}}\cdot 2^n\cdot 2^{n+1}=1$
が成立し，よって $P=\dfrac{1}{2}$ となる．

${}_{n}\mbox{C}_{m}\cdot {}_{n+1}\mbox{C}_{k}$ $={}_{n}\mbox{C}_{n-m}\cdot {}_{n+1}\mbox{C}_{n+1-k}$
という式は全ての表と裏を入れ換えたときの確率が等しいことを意味している．

本問の有名な解法．

[うまい解答]
$n$ 枚の100円玉と $n$ 枚の500円玉を同時に投げたとき，表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い（a）確率を $p$ とすると，表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が少ない(b)確率も $p$ であり，表の出た100円玉の枚数と表の出た500円玉の枚数の方が等しい(c)確率は $1-2p$ である．

それに加えて最後の500円玉を1枚投げたとき，(a)の場合は必ず題意を満たし，(b)の場合は確率 $\dfrac{1}{2}$ で題意を満たし，(c)の場合は絶対に題意を満たさない．

よって求める確率は $p+\dfrac{1-2p}{2}+0=\dfrac{1}{2}$ となる．