https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Kouki_Ri

2025.09.24記

[5] $\displaystyle n\lt \int_{10}^{100}\log_{10}x\, dx$ を満たす最大の自然数 $n$ を求めよ．
ただし， $0.434\lt \log_{10}e\lt 0.435$ （ $e$ は自然対数の底）である．

2025.09.29記

[解答]
$\displaystyle n\lt \int_{10}^{100}\log_{10}x\, dx$ $=\dfrac{1}{\log 10}\displaystyle n\lt \int_{10}^{100}\log x\, dx$ $=\dfrac{1}{\log 10}\Bigl[ x\log x -x \Bigr]_{10}^{100}$ $=\dfrac{1}{\log 10}(100\log 100-10\log 10 -90)$ $=190-90\log_{10} e$
となる．

$39.06\lt 90\log_{10}e\lt 39.15$ であるから， $150.85\lt \displaystyle n\lt \int_{10}^{100}\log_{10}x\, dx\lt 150.94$ となり，求める最大の $n$ は $150$ である．