https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Kouki_Ri

2025.09.24記

[4] 四面体 $\mbox{OABC}$ において，三角形 $\mbox{ABC}$ の重心を $\mbox{G}$ とし，線分 $\mbox{OG}$ を $t:1-t$ （ $0\lt t\lt 1$ ）に内分する点を $\mbox{P}$ とする．また，直線 $\mbox{AP}$ と面 $\mbox{OBC}$ との交点を $\mbox{A}'$ ，直線 $\mbox{BP}$ と面 $\mbox{OCA}$ との交点を $\mbox{B}'$ ，直線 $\mbox{CP}$ と面 $\mbox{OAB}$ との交点を $\mbox{C}'$ とする．このとき，三角形 $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ は三角形 $\mbox{ABC}$ と相似であることを示し，相似比を $t$ で表せ．

2025.09.28記
$\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおくと，平面 $\mbox{OBC}$ 上の点は $\vec{b}，\vec{c}$ の一次結合で表すことができるので $\vec{a}$ の係数は $0$ となるので，直線 $\mbox{AP}$ 上の点 $\overrightarrow{\mbox{OA}'}=\vec{a}-\lambda\left(\dfrac{t}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\right)$ として $\vec{a}$ の係数を消すために $\lambda$ を暗算で選べば良い．

[解答]
$\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}=\vec{b}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}=\vec{c}$ とおくと， $\overrightarrow{\mbox{OG}}=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OP}}=\dfrac{t\vec{a}+t\vec{b}+t\vec{c}}{3}$ であるから， $\overrightarrow{\mbox{OA}'}=\vec{a}- \dfrac{3}{t-3}\left(\dfrac{t}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})-\vec{a}\right)$ $=\dfrac{t}{3-t}(\vec{b}+\vec{c})$ となり，同様に
$\overrightarrow{\mbox{OB}'}=\dfrac{t}{3-t}(\vec{c}+\vec{a})$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}'}=\dfrac{t}{3-t}(\vec{a}+\vec{b})$ となる．

よって $\overrightarrow{\mbox{A}'\mbox{B}'}=\dfrac{t}{3-t}(\vec{a}-\vec{b})=\overrightarrow{\mbox{BA}}$ となり，同様に
$\overrightarrow{\mbox{B}'\mbox{C}'}=\dfrac{t}{3-t}(\vec{a}-\vec{b})=\overrightarrow{\mbox{CB}}$ となるので三角形 $\mbox{A}'\mbox{B}'\mbox{C}'$ は三角形 $\mbox{ABC}$ と相似であることを示し，相似比は $\dfrac{t}{3-t}:t$ である．