https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Kouki_Ri

2025.09.24記

[3] $2$ 次元列ベクトル $A_n$ $(n=1，2，3，\cdots)$ が

$A_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ ， $A_2=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ ，
$A_{n+2}=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}A_{n+1}+\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}A_n$ （ $n=1$ ， $2$ ， $3$ ， $\cdots$ ）

を満たすとき， $A_n$ を求めよ．

本問のテーマ

クリフォード代数または外積代数

2025.09.28記

[解答]
$A_n=\begin{pmatrix} x_n \\ y_n \end{pmatrix}$ とおくと
$x_{n+2}=x_{n+1}+y_{n+1}-y_n$ …①， $y_{n+2}=x_{n+1}-y_{n+1}+x_n$ …②
が成立する．

①より $x_{n+2}-y_{n+1}=x_{n+1}-y_n=\cdots=x_2-y_1=2$ …③，②より $y_{n+2}-x_{n+1}=-(y_{n+1}-x_n)=\cdots=(-1)^n(y_2-x_1)=(-1)^{n+1}$ …④ であるから，③④より
$x_{n+2}-x_{n}=2+(-1)^n=\begin{cases} 1 & (nが奇数) \\ 3 & (nが偶数) \end{cases}$ ，
$y_{n+2}-y_{n}=(-1)^{n+1}+2=\begin{cases} 3 & (nが奇数) \\ 1 & (nが偶数) \end{cases}$
となる．よって

(i) $n=2m-1$ のとき
$A_n=\begin{pmatrix} 2+(m-1) \\ 1+3(m-1)\end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} n+3 \\ 3n-1 \end{pmatrix}$ ，

(i) $n=2m$ のとき
$A_n=\begin{pmatrix} 3+3(m-1) \\ 1+(m-1)\end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3n \\ n \end{pmatrix}$

となる．

2025.09.29記
クリフォード代数
2012年(平成24年)東京大学前期-数学(理科)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2008年(平成20年)山梨大学医学部後期-数学[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2008年(平成20年)山梨大学医学部後期-数学[1](2) - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2007年(平成19年)山梨大学医学部後期-数学[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
として $E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $F=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ， $G=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ， $H=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=GF=-FG$ を利用して表現する．

[うまい解答]
$E=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ， $F=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ ， $G=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ ， $H=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ とおくと $H=-FG$ であり， $A_{n+2}=(G+F)A_{n+1}-FGA_n$ と表現できる．つまり
$A_{n+2}-GA_{n+1}=F(A_{n+1}-GA_{n})=F^{n}(A_2-GA_1)=F^{n}\begin{pmatrix} 2 \\ -1\end{pmatrix}$
が成立する． $G^2=E$ に注意すると
$GA_{n+1}-A_{n}=GF^{n-1}\begin{pmatrix} 2 \\ -1\end{pmatrix}$
であるから，
$A_{n+2}-A_n=(F+G)F^{n-1}\begin{pmatrix} 2 \\ -1\end{pmatrix}$
が成立する． $F^2=E$ に注意すると

(i) $n=2m+1$ のとき
$A_{n+2}-A_n=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}$ から $A_n=\begin{pmatrix} 2+(m-1) \\ 1+3(m-1)\end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} n+3 \\ 3n-1 \end{pmatrix}$ ，

(i) $n=2m$ のとき
$A_{n+2}-A_n=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 \\ -1\end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} 3 \\ 1\end{pmatrix}$ から $A_n=\begin{pmatrix} 3+3(m-1) \\ 1+(m-1)\end{pmatrix}$ $=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 3n \\ n \end{pmatrix}$

となる．