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2005年(平成17年)京都大学後期-数学(理系)[2]

2025.09.24記

[2] $\dfrac{2z+2i}{z+2i}=\bar{z}$ を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ．（ただし， $i$ は虚数単位， $\bar{z}$ は $z$ に共役な複素数である．）

2025.09.28記
形は意味深だが普通に解くしかなさそう．

[解答]
$z=a+bi$ （ $a，b\in\mathbb{R}$ ）とおくと $2a+2(b+1)i=a^2+b^2+2(b+ai)$ となり，実部と虚部を比較して
$2a=a^2+b^2+2b$ ， $b+1=a$
となる． $a$ を消去して $2b^2+2b-1=0$ から $b=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$ となり，よって $z=\dfrac{1\pm\sqrt{3}}{2}+\dfrac{-1\pm\sqrt{3}}{2}i$ （複号同順）
となる．

$z=\sqrt{2}(\cos 15^{\circ}+i\sin 15^{\circ})$ ， $\sqrt{2}(\cos 255^{\circ}+i\sin 255^{\circ})$ となるのが意味深である． $z=\sqrt{2}(\cos 15^{\circ}+i\sin 15^{\circ})$ の場合，内角が $45^{\circ}，30^{\circ}，105^{\circ}$ の三角形の内角が $45^{\circ}$ となる頂点からの中線が，この $45^{\circ}$ を $30^{\circ}$ と $15^{\circ}$ に分けるという構図になっているのだが，，，．

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