https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Kouki_Ri

2025.09.24記

[1] 曲線 $y=x^3$ の $x\gt 0$ の部分を $C$ とする． $C$ 上の点 $\mbox{P}$ に対し， $\mbox{P}$ における $C$ の接線と $x$ 軸との交点を $\mbox{Q}$ とし， $\mbox{P}$ における $C$ の法線と $y$ 軸との交点を $\mbox{R}$ とする． $\mbox{P}$ が $C$ 上を動くとき， $\dfrac{\mbox{OR}}{\mbox{OQ}}$ の最小値を求めよ．ただし， $\mbox{O}$ は原点である．

2025.09.28記

[解答]
$\mbox{P}(t，t^3)$ （ $t\gt 0$ ）とおくと，接線の方程式は $y=3t^2(x-t)+t^3$ ，法線の方程式は $y=-\dfrac{1}{3t^2}(x-t)+t^3$ であるから，
$\mbox{Q}\left(\dfrac{2t}{3}，0\right)$ ， $\mbox{R}\left(0，\dfrac{1}{3t}+t^3\right)$
となり， $\dfrac{\mbox{OR}}{\mbox{OQ}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t^2}+3t^2\right)$ となる．よってAM-GM不等式により，
$\dfrac{\mbox{OR}}{\mbox{OQ}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t^2}+3t^2\right) \geqq\sqrt{\dfrac{1}{t^2}\cdot 3t^2}=\sqrt{3}$
（等号成立は $t=\dfrac{1}{\sqrt[4]{3}}$ のとき）
となるので求める最小値は $\sqrt{3}$ となる．