https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Kouki_Bun

2025.09.24記

[3] 角 $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ が $\alpha+\beta+\gamma={180}^{\circ}$ ， $\alpha\geqq0^{\circ}$ ， $\beta\geqq0^{\circ}$ ， $\gamma\geqq0^{\circ}$ を満たすとき， $\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\geqq1$ を示せ．

2025.10.01記

[3] $f(\theta)=2\cos^2\theta+4\cos\theta\sin\theta+5\sin^2\theta$ の最大値と最小値を求めよ．

を差し替えたそうである．

$\cos\theta$ は $0\leqq \theta\leqq\pi$ で $\cos\theta$ は凹凸が変化するので Jensen の不等式は使えません．

三角形の内角に関するマニアックな公式
$\cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$
（掌握に載っていたような気がする）
を用いれば一発である．

[解答]
$\alpha+\beta+\gamma={180}^{\circ}$ により $\sin\dfrac{\gamma}{2}=\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ であるから，
$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma-1$ $=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}-2\sin^2\dfrac{\gamma}{2}$ $=2\sin\dfrac{\gamma}{2}\left(\cos\dfrac{\alpha-\beta}{2}-\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)$ $=4\sin\dfrac{\gamma}{2}\sin\dfrac{\alpha}{2}\sin\dfrac{\beta}{2}\geqq 0$
（∵ $0^{\circ}\leqq \dfrac{\alpha}{2}，\dfrac{\beta}{2}，\dfrac{\gamma}{2}\leqq 90^{\circ}$ ）
が成立する．

京大51年の別解（p.05-8）が面白い．