https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Kouki_Bun

2025.09.24記

[1] 放物線 $y=ax^2+bx+c$ が3直線 $y=x$ ， $y=2x-1$ ， $y=3x-3$ のすべてと接するとき， $a$ ， $b$ ， $c$ の値を求めよ．

2025.09.30記
接線の傾きが $1，2，3$ と等差数列になるということは，接点の $x$ 座標も等差数列になります．

[解答]
$f(x)=ax^2+bx+c$ とおくと $f'(x)=2ax+b$ と1次式であるから，3直線 $y=x$ ， $y=2x-1$ ， $y=3x-3$ との接点は等差数列となる．よって
$f(x)-x=a(x-p+q)^2=a(x-p)^2+2aq(x-p)+aq^2$ …①，
$f(x)-(2x-1)=a(x-p)^2$ …②，
$f(x)-(3x-3)=a(x-p-q)^2=a(x-p)^2-2aq(x-p)+aq^2$ …③
とおくことができる．よって① $-$ ②，② $-$ ③から
$2aq(x-p)+aq^2=x-1$ ， $2aq(x-p)-aq^2=x-2$
となり， $2aq=1$ ， $2apq=\dfrac{3}{2}$ ， $aq^2=\dfrac{1}{2}$ から
$p=\dfrac{3}{2}$ ， $q=1$ ， $a=\dfrac{1}{2}$
となる．
よって $f(x)=a(x-p)^2+2x-1=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+2x-1$
$=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{8}+2x-1$ $=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{8}$
となり， $a=b=\dfrac{1}{2}$ ， $c=\dfrac{1}{8}$ となる．

同じことですが，次のようにも表現することができます．2次式の階差は1次式というのが[解答]の肝になっていますが，さらに階差をとると定数になる，というのを次の[別解]では用いています．

[別解]
$f(x)=ax^2+bx+c$ とおくと $f'(x)=2ax+b$ であるから，
$f(x)-x=a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{1}{2a}\right)^2$ …①，
$f(x)-(2x-1)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{2}{2a}\right)^2$ …②，
$f(x)-(3x-3)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{3}{2a}\right)^2$ …③
となる．① $-$ ②，② $-$ ③から
$x-1=\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{b}{a}-\dfrac{3}{2a}\right)$ …④，
$x-2=\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{b}{a}-\dfrac{5}{2a}\right)$ …⑤
が成立し，④ $-$ ⑤から $1=\dfrac{1}{2a}$ が成立する．よって $a=\dfrac{1}{2}$ である．

よって④より $x-1=\dfrac{1}{2}(2x+2b-3)$ であるから $b=\dfrac{1}{2}$ である．

よって①より
$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+x=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{8}$
となり， $a=b=\dfrac{1}{2}$ ， $c=\dfrac{1}{8}$ となる．

放物線は左右対称なので，2つの接線の傾きが互いに $-1$ 倍となるように1次式を引くことによって軸の情報が得られます．

[うまい解答]
$f(x)=ax^2+bx+c$ ， $g(x)=ax^2+bx+c-(2x-1)$ とおくと， $y=g(x)$ は $y=-x+1$ ， $y=0$ ， $y=x-2$ のすべてと接する．よって $y=g(x)$ の軸は $y=-x+1$ ， $y=x-2$ の交点から $x=\dfrac{3}{2}$ となる．また $y=g(x)$ は $x$ 軸と接するので $y=a\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2$ と書ける．これが $y=x-2$ と接するので， $a\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-x+2$ $=a\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(x-\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}$ （ $a\neq 0$ ）が重解を持つので $(-1)^2-2a=0$ から $a=\dfrac{1}{2}$ となる．

よって $f(x)=g(x)+2x-1=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+2x-1$ $=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{9}{8}+2x-1$ $=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{8}$
となり， $a=b=\dfrac{1}{2}$ ， $c=\dfrac{1}{8}$ となる．

$aX^2-X+\dfrac{1}{2}$ の $X$ の係数と定数項の比が $-2:1$ となっているので $1:-2:1$ を思い出して
$a=\dfrac{1}{2}$ となることは計算するまでもなくわかります．