https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2005/Bunkei

2025.09.24記

[5] $1$ から $n$ までの番号のついた $n$ 枚の札が袋に入っている．ただし $n\geqq3$ とし，同じ番号の札はないとする．この袋から3枚の札を取り出して，札の番号を大きさの順に並べるとき，等差数列になっている確率を求めよ．

2025.09.28記

[解答]
等差数列の最大項と最小項の偶奇が等しければ，等差中項も自然数となるので，偶奇の等しい2枚を選ぶ場合の数を考えれば良い．

(i) $n=2m$ のとき：
奇数は $m$ 個，偶数は $m$ 個だから，等差数列となる場合の数は $2\times {}_m\mbox{C}_2=2m(m-1)$ 通りとなり，求める確率は $\dfrac{2m(m-1)}{{}_n\mbox{C}_3}=\dfrac{12m(m-1)}{n(n-1)(n-2)}=\dfrac{3}{2(n-1)}$ となる．

(Ii) $n=2m+1$ のとき：
奇数は $m+1$ 個，偶数は $m$ 個だから，等差数列となる場合の数は ${}_{m+1}\mbox{C}_2+{}_m\mbox{C}_2=2m^2$ 通りとなり，求める確率は $\dfrac{2m^2}{{}_n\mbox{C}_3}=\dfrac{12m^2}{n(n-1)(n-2)}=\dfrac{3(n-1)}{2n(n-2)}$ となる．