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2005年(平成17年)京都大学前期-数学(文系)[4]

2025.09.24記

[4] $a^3-b^3=65$ を満たす整数の組 $(a，b)$ をすべて求めよ．

2025.09.28記
2005年(平成17年)京都大学前期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR の $217$ を $65$ にして易しくしたもの．

[解答]
$0^3=0$ ， $1^3=1$ ， $2^3=8$ ， $3^3=27$ ， $4^3=64$ ， $5^3=125$ ， $6^3=216$ …(★)
である．

$a^3+(-b)^3=65$ であるから，

(i) $a，-b\geqq 0$ のとき：（★）から $\{a，-b\}=\{4，1\}$ となる．

(ii) $a\gt 0\geqq -b$ のとき：
$65=a^3-b^3\geqq a^3-(a-1)^3=3a(a-1)+1$ から $1\leqq a\leqq 5$ が必要で，(★)から
$b^3=a^3-65$ が立方数となるものを探しても存在しない．

(iii) $-b\gt 0\geqq a$ のとき：(ii) と同様にして存在しない．

(iv) $a，-b\lt 0$ のとき： $a^3+(-b)^3\lt 0$ から不適．

以上から $(a，b)=(4，-1)$ ， $(1，-4)$ となる．

まぁ，普通は因数分解を利用する．

[解答]
$a^3\gt b^3$ より $a-b\gt 0$ であり，
$a^3-b^3=(a-b)\{(a-b)^2+3ab\}=5\times 13$
となることから $p=a-b$ ， $q=(a-b)^2+3ab$ とおくと， $a，b$ は実数であるから $(a+b)^2=(a-b)^2+4ab=q+\dfrac{q-p^2}{3}\geqq 0$ から $4q\geqq p^2$ が必要で， $(p，q)=(1，65)，(5，13)$ となり， $(a-b，ab)=\left(1，\dfrac{64}{3}\right)，(5，-4)$ となるので， $(a-b，ab)=(5，-4)$ となる．

$a，-b$ は $t^2-5t+4=0$ の2解となることから $\{a，-b\}=\{1，4\}$ となり，これは整数解となっているので $(a，b)=(4，-1)$ ， $(1，-4)$ となる．

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