https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Rikei

2025.09.08記

[6] $N$ を自然数とする． $N+1$ 個の箱があり， $1$ から $N+1$ までの番号が付いている．どの箱にも玉が1個入っている．番号 $1$ から $N$ までの箱に入っている玉は白玉で，番号 $N+1$ の箱に入っている玉は赤玉である．次の操作 $(\ast)$ を，おのおのの $k=1$ ， $2$ ， $\cdots$ ， $N+1$ に対して， $k$ が小さい方から順番に1回ずつ行う．

$(\ast)$ $k$ 以外の番号の $N$ 個の箱から1個の箱を選び，その箱の中身と番号 $k$ の箱の中身を交換する．(ただし， $N$ 個の箱から1個の箱を選ぶ事象は，どれも同様に確からしいとする．)

操作がすべて終了した後，赤玉が番号 $N+1$ の箱に入っている確率を求めよ．

2025.09.19記
途中経過は結構どうでも良く，どこかで赤玉が移動し，（その後何回赤玉が移動しようが関係なく）最後に赤玉を回収すれば良い．

[解答]
$1〜N$ までの箱を選ぶどこかで赤玉が移動し（余事象を考えて確率 $1-\left(1-\dfrac{1}{N}\right)^N$ ），途中何回赤玉が移動しようとも，最後の $N+1$ の箱を選んだときに赤玉が箱 $N+1$ に戻れば良い（確率 $\dfrac{1}{N}$ ）ので，求める確率は $\dfrac{1}{N}\left\{1-\left(1-\dfrac{1}{N}\right)^N\right\}$ である．