https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Rikei

2025.09.08記

[5] 複素数 $\alpha$ に対してその共役複素数を $\bar{\alpha}$ であらわす． $\alpha$ を実数ではない複素数とする．複素平面内の円 $C$ が $1$ ， $-1$ ， $\alpha$ を通るならば， $C$ は $\displaystyle -\dfrac{1}{\bar{\alpha}}$ も通ることを示せ．
(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)

本問のテーマ

反転（と原点の方羃）

2025.09.19記
$-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}=-\dfrac{\alpha}{|\alpha|^2}$ なので $\mbox{P}(1)$ ， $\mbox{Q}(\alpha)$ ， $\mbox{R}(-1)$ ， $\mbox{S}\left(-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}\right)$ とすると線分 $\mbox{PR}$ と線分 $\mbox{QS}$ の交点は $\mbox{O}(0)$ となります．

[うまい解答]
$\mbox{O}(0)$ ， $\mbox{P}(1)$ ， $\mbox{Q}(\alpha)$ ， $\mbox{R}(-1)$ ， $\mbox{S}\left(-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}\right)$ とおくと $-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}=-\dfrac{\alpha}{|\alpha|^2}$ により， $\mbox{PR}$ と $\mbox{QS}$ の交点は $\mbox{O}(0)$ となり， $\mbox{O}$ は線分 $\mbox{PR}$ 上，線分 $\mbox{QS}$ 上にある．ここで
$\mbox{OQ}\cdot\mbox{OS}$ $=|\alpha|\cdot\dfrac{1}{|\alpha|}$ $=1$ $=\mbox{OP}\cdot\mbox{OR}$
であるから，方羃の定理の逆から， $C$ が $1$ ， $-1$ ， $\alpha$ を通るならば， $C$ は $\displaystyle -\dfrac{1}{\bar{\alpha}}$ も通る．

[大人の解答]
$C$ は $\pm 1$ を通るので虚軸対称の円であり， $C$ と虚軸の交点を $\mbox{A}(pi)$ ， $\mbox{B}(qi)$ （ $p，q$ は $0$ でない実数で $i$ は虚数単位）とおくと，方羃の定理により $q=-\dfrac{1}{p}$ である．よって

円 $C$ を単位円について反転し，原点について対称移動させると円 $C$ に移る．

このとき， $\alpha$ は $-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}$ に移るので，題意は成立する．

[解答]
$\alpha=p+qi$ （ $p，q$ は実数で $q\neq 0$ ， $i$ は虚数単位）とおき， $\pm 1+0i$ を通る円 $C$ の式を $x^2+y^2+Ay-1=0$ とおくと， $p^2+q^2+Aq-1=0$ から $A=\dfrac{1-p^2-q^2}{q}$ が成立するので， $C$ の式は
$x^2+y^2+\dfrac{1-p^2-q^2}{q}y-1=0$
となる．ここで $-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}=-\dfrac{p+qi}{p^2+q^2}$ であり，このとき
$x^2+y^2+\dfrac{1-p^2-q^2}{q}y-1$
$=\dfrac{p^2+q^2}{(p^2+q^2)^2}+\dfrac{1-p^2-q^2}{q}\cdot \dfrac{-q}{p^2+q^2}-1$
$=\dfrac{1}{p^2+q^2}+\dfrac{1-p^2-q^2}{q}\cdot \dfrac{-q}{p^2+q^2}-1=0$
となるので， $-\dfrac{1}{\bar{\alpha}}$ も $C$ 上にある．