https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Rikei

[4] 行列 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ を $A=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ ， $B=\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$ とする．次の $(\ast)$ が成り立つための実数 $\alpha$ ， $\beta$ についての必要十分条件を求めよ．

$(\ast)$ どんな2次正方行列 $Y$ に対しても，2次正方行列 $X$ で $AX-XB=Y$ となるものがある．

本問のテーマ

シルベスター(Sylvester)方程式

2019.01.16記

解説:制御理論で登場するシルベスタ方程式。

[大人の解答]
行列のクロネッカ積と vec 作用素を用いて $AXI-IXB=Y$ ( $I$ は2次単位行列)は
$(I\otimes A-B^{\top}\otimes I)\mbox{vec}(X)=\mbox{vec}(Y)$
と変形でき、さらにこれはクロネッカ和を用いて
$(B^{\top}\oplus (-A))\mbox{vec}(X)=\mbox{vec}(Y)$
と変形できる。この方程式が任意の $\mbox{vec}(Y)$ に対して解をもつためには，この4次元から4次元への線形変換が全射であることが必要十分であり，
その必要十分条件は
$\mbox{det}(B^{\top}\oplus (-A))\neq 0$
である。ここで $B^{\top}\oplus (-A)$ の固有値は、 $B^{\top}$ の固有値( $B$ の固有値)と $-A$ の固有値の和であるから、
$\alpha-1,\alpha-2,\beta-1,\beta-2$
である．

以上から，求める必要十分条件は $\alpha-1\neq 0,\alpha-2\neq 0,\beta-1\neq 0,\beta-2\neq 0$ となる。

なお、4次正方行列に対して
$\begin{pmatrix} I & X \\ O & I \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & Y \\ O & B \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I & -X \\ O & I \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}$
であるための必要十分条件は $AX-XB=Y$ である。これは
$\begin{pmatrix} A & Y \\ O & B \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}$ が相似であることを示している。これをロスの除去法則（Roth's removal rule）という。

The Equations AX - YB = C and AX - XB = C in Matrices
https://www.jstor.org/stable/2031890?seq=1#page_scan_tab_contents

A novel proof of Roth's removal rule
https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10.1080/0020739930240409

こんなことを知っていたからって何なのよ。

2022.11.28追記

の p.168 には、シルベスタ方程式 $AX+XB=C$ が唯一解 $X$ をもつための必要十分条件は任意の $A$ の固有値と任意の $B$ の固有値の和が非零となることという定理が「定理10.8(Hahn)」とあるが、Hahn による文献がどれかわからなかった。

普通に解いておくと，

[解答]
$X=\begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{pmatrix}$ ， $Y=\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix}$
とおき
$AX-XB=Y$ を計算すると
$\begin{pmatrix} 2x_{11} & 2x_{12} \\ x_{11}+x_{21} & x_{12}+x_{22} \end{pmatrix}$ $-\begin{pmatrix} \alpha x_{11} & \beta x_{12} \\ \alpha x_{21} & \beta x_{22} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix}$
つまり
$\begin{pmatrix} (2-\alpha) x_{11} & (2-\beta) x_{12} \\ x_{11}+(1-\alpha)x_{21} & x_{12}+(1-\beta)x_{22} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{pmatrix}$
が任意の $Y$ に対して解をもつような $x_{ij}$ の条件を求めれば良い．

これは
$\begin{pmatrix} (2-\alpha) x_{11} & (2-\beta) x_{12} \\ (1-\alpha)x_{21} & (1-\beta)x_{22} \end{pmatrix}$ $=\begin{pmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21}-x_{11} & y_{22}-x_{12} \end{pmatrix}$
の1行目において，
$y_{11}\neq 0$ ， $y_{12}\neq 0$
のときにも $x_{11}$ ， $x_{12}$ が存在することから，任意の $y_{11}$ ， $y_{12}$ に対して $x_{11}$ ， $x_{12}$ が存在する必要十分条件は $\alpha\neq 2$ ， $\beta\neq 2$ である．

このとき2行目において，
$y_{21}-x_{11}=y_{21}-\dfrac{y_{11}}{2-\alpha}\neq 0$ ， $y_{22}-x_{12}=y_{22}-\dfrac{y_{12}}{2-\beta}\neq 0$
のときにも $x_{21}$ ， $x_{22}$ が存在することから，任意の $y_{21}$ ， $y_{22}$ に対して $x_{21}$ ， $x_{22}$ が存在する必要十分条件は $\alpha\neq 1$ ， $\beta\neq 1$ である．

よって求める必要十分条件は
$\alpha\neq 2$ ， $\beta\neq 2$ ， $\alpha\neq 1$ ， $\beta\neq 1$
である．