https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Rikei

2025.09.08記

[3] $n$ を2以上の自然数とする． $x^{2n}$ を $\displaystyle x^2-x+\dfrac{n-1}{n^2}$ で割った余りを $a_nx+b_n$ とする．すなわち， $x$ の多項式 $P_n(x)$ があって $\displaystyle x^{2n}=P_n(x) \left( x^2-x+\dfrac{n-1}{n^2} \right) +a_nx+b_n$ が成り立っているとする． $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n$ を求めよ．

2025.09.19記

[うまい解答]
$\alpha=\dfrac{1}{n}$ ， $\beta=1-\dfrac{1}{n}$ とおくと $x^2-x+\dfrac{n-1}{n^2}=(x-\alpha)(x-\beta)$ であるから，直線 $y=a_nx+b_n$ は2点 $\mbox{A}_n(\alpha，\alpha^{2n})$ ， $\mbox{B}_n(\beta，\beta^{2n})$ を通る直線の方程式となる．

ここで $n\to\infty$ で $\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{2n}\to e^{-2}$ であるから， $\mbox{A}_n\to (0，0)$ ， $\mbox{B}_n\to (1，e^{-2})$ となり， $a_nx+b_n\to e^{-2} x$
となる．よって $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=e^{-2}$ ， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$ となる．