https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Rikei

2025.09.08記

[2] $a\gt 0$ とし， $x\gt 0$ で定義された関数 $\displaystyle f(x)= \left( \dfrac{e}{x^a}-1 \right) \dfrac{\log x}{x}$ を考える． $y=f(x)$ のグラフより下側で $x$ 軸より上側の部分の面積を $a$ であらわせ．ただし， $e$ は自然対数の底である．

2025.09.19記

[解答]
$f(x)\gt 0$ となるのは $\dfrac{e}{x^a}-1\gt 0$ より $1\lt x\lt e^{\frac{1}{a}}$ のときであるから，求める面積 $S$ は
$S=\displaystyle\int_1^{e^{\frac{1}{a}}} \left( \dfrac{e}{x^a}-1 \right) \dfrac{\log x}{x}\, dx$
となる． $x=e^{t/a}$ と置換すると
$S=\displaystyle\int_0^{1} \left( \dfrac{e}{e^{t}}-1 \right) \dfrac{t}{ae^{t/a}}\cdot \dfrac{1}{a}e^{t/a}\, dt$ $=\dfrac{1}{a^2}\displaystyle\int_0^{1} \left( e\cdot te^{-t}-t \right) \, dt$ $=\dfrac{1}{a^2}\Bigl[ -e(t+1)e^{-t}-\dfrac{t^2}{2}\Bigr]_0^1$ $=\dfrac{1}{a^2}\left(-2-\dfrac{1}{2}+e\right)$ $=\dfrac{1}{a^2}\left(e-\dfrac{5}{2}\right)$
となる．