2004年(平成16年)京都大学前期-数学(理系)

[2] とし， で定義された関数 を考える． のグラフより下側で 軸より上側の部分の面積を であらわせ．ただし， は自然対数の底である．

[3] を2以上の自然数とする． を で割った余りを とする．すなわち， の多項式 があって が成り立っているとする．， を求めよ．

[4] 行列 ， を ， とする．次の が成り立つための実数 ， についての必要十分条件を求めよ．

どんな2次正方行列 に対しても，2次正方行列 で となるものがある．

[5] 複素数 に対してその共役複素数を であらわす． を実数ではない複素数とする．複素平面内の円 が ，， を通るならば， は も通ることを示せ．
(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)

[6] を自然数とする． 個の箱があり， から までの番号が付いている．どの箱にも玉が1個入っている．番号 から までの箱に入っている玉は白玉で，番号 の箱に入っている玉は赤玉である．次の操作 を，おのおのの ，，， に対して， が小さい方から順番に1回ずつ行う．

以外の番号の 個の箱から1個の箱を選び，その箱の中身と番号 の箱の中身を交換する．(ただし， 個の箱から1個の箱を選ぶ事象は，どれも同様に確からしいとする．)

操作がすべて終了した後，赤玉が番号 の箱に入っている確率を求めよ．