https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Kouki_Ri

2025.09.23記

[6] $n$ を自然数とする． $xy$ 平面内の，原点を中心とする半径 $n$ の円の，内部と周をあわせたものを $C_n$ であらわす．次の条件 $(\ast)$ を満たす1辺の長さが1の正方形の数を $N(n)$ とする．

$(\ast)$ 正方形の4頂点はすべて $C_n$ に含まれ，4頂点の $x$ および $y$ 座標はすべて整数である．
このとき， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{N(n)}{n^2}=\pi$ を証明せよ．

2025.09.24記
面積を比較して $N(n)\leqq \pi n^2$ が成立することは明らかで，問題は下からの評価になりますが，最高次だけが問題になるので大雑把で大丈夫です．

[解答]
辺が軸に平行なであるような1辺の長さが2の正方形の内部には必ず4頂点が格子点となる辺が軸に平行なであるような1辺の長さが1の正方形が存在し，一辺の長さが2の正方形の対角線の長さは $2\sqrt{2}$ であるから，十分大きな $n$ に対して
$\pi(n-2\sqrt{2})^2\leqq N(n)\leqq \pi n^2$
が成立する．よってはさみうちの原理により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{N(n)}{n^2}=\pi$ となる．