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2004年(平成16年)京都大学後期-数学(理系)[5]

2025.09.23記

[5] $n$ を自然数とする．次の3つの不等式(1)，(2)，(3)をすべて満たす自然数の組 $(a，b，c，d)$ はいくつあるか． $n$ を用いてあらわせ．

(1) $1 \leqq a \lt d \leqq n$

(2) $a \leqq b \lt d$

(3) $a \lt c \leqq d$

2025.09.24記

[解答]
$d-a=k$ となる $(a，d)$ の組は $n-k$ 通りであり，それぞれに対して， $b，c$ の選び方はそれぞれ $k$ 通りであるから，求める場合の数は $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} (n-k)k^2$ $=n\cdot \dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}-\dfrac{(n-1)^2n^2}{4}$ $=\dfrac{1}{12}n^2(n-1)(n+1)$ となる．

等号を不等号に変えるために $B=b+1$ ， $D=d+1$ とおく方法も頻出．

[うまい解答]
$A=a$ ， $B=b+1$ ， $C=c$ ， $D=d+1$ とおくと，
$1\leqq A\lt B\lt D\leqq n+1$ ， $1\leqq A\lt C\lt D\leqq n+1$
を満たす自然数の組 $(A，B，C，D)$ の個数を数えれば良い．

(i) $B=C$ のとき：
${}_{n+1}\mbox{C}_3$ 通り，

(ii) $B\neq C$ のとき：
$1\leqq A\lt B\lt C\lt D\leqq n+1$ ， $1\leqq A\lt C\lt B\lt D\leqq n+1$ の場合を考えて $2\times{}_{n+1}\mbox{C}_4$ 通り，

であるから，求める場合の数は ${}_{n+1}\mbox{C}_3$ $+2\times{}_{n+1}\mbox{C}_4$ 通りである．

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