https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Kouki_Ri

2025.09.23記

[4] 水平面 $V$ 上の3点を $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ とする． $\mbox{A}$ は線分 $\mbox{OB}$ 上にあり，線分 $\mbox{AB}$ の長さは $1$ メートルであるとする． $\mbox{O}$ から， $V$ と垂直に棒が立っている．棒の先端 $\mbox{X}$ を $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ から見たときの仰角がそれぞれ ${45}^{\circ}$ ， ${44}^{\circ}$ であったという．棒の長さは何メートルか．小数点以下を四捨五入して答えよ．

ただし， $0.01745\lt \tan1^{\circ}\lt 0.01746$ である．

本問のテーマ

商による誤差の伝播を利用した評価

2025.09.24記

[解答]
$\mbox{OX}=\mbox{OA}=x$ とおくと $(x+1)\tan 44^{\circ}=x$ であるから
$x=\dfrac{\tan 44^{\circ}}{1-\tan 44^{\circ}}$ $=\dfrac{\tan (45^{\circ}-1^{\circ})}{1-\tan (45^{\circ}-1^{\circ})}$ $=\dfrac{1-\tan 1^{\circ}}{(1+\tan 1^{\circ})-(1-\tan 1^{\circ})}$ $=\dfrac{1}{2\tan 1^{\circ}}-\dfrac{1}{2}$
が成立する．
$\dfrac{\sqrt{3}}{100}=0.01732\cdots \lt 0.01745\lt \tan1^{\circ}\lt 0.01746\lt 0.0175=\dfrac{7}{400}$
であるから
$28.57\cdots=\dfrac{200}{7}\lt\dfrac{1}{2\tan1^{\circ}}\lt\dfrac{100\sqrt{3}}{6}=28.86\cdots$
となり，よって
$28.07\lt x\lt 28.37$
となり棒の長さは28メートルとなる．

$0\lt\delta\lt\dfrac{1}{2}$ のとき， $\dfrac{1}{1-\delta}\lt 1+2\delta$ である．というのも右辺から左辺を引くと
$\dfrac{\delta(1-2\delta)}{1-\delta}\gt 0$
となるからである．

[別解]（評価の部分）
$\delta=5\times 10^{-5}$ として
$\dfrac{7}{400}-\delta=0.01745 \lt \tan 1^{\circ}\lt 0.0175=\dfrac{7}{400}$
だから
$28.57\cdots=\dfrac{200}{7}\lt\dfrac{1}{2\tan1^{\circ}}\lt\dfrac{200}{7-400\delta}$
$\lt\dfrac{200}{7}\left(1+\dfrac{800}{7}\delta\right)$
$=\dfrac{200}{7}+ \dfrac{8}{49}$ $=28.57\cdots+0.16\cdots\lt 28.75$
となり，よって
$28.07\lt x\lt 28.25$
となり棒の長さは28メートルとなる．

$x=28.1449\cdots$ である．

近年の京大では数値を近似値ではなく不等式で与えることが多く，特に対数では逆数をとることが多いので

$0\lt\delta\lt\dfrac{1}{2}$ のとき， $\dfrac{1}{1-\delta}\lt 1+2\delta$

を知っておきたい．ただ，大数の解答は基本的に割り算で計算することがほとんど．

数値評価の類題は
2017年(平成29年)京都大学-数学(文系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2014年(平成26年)京都大学-数学(文系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2011年(平成23年)京都大学-数学(文系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
あたりを参照（全て対数の評価）．