https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Kouki_Ri

2025.09.23記

[3] 平面ベクトル $\overrightarrow{x}$ に対して実数 $f(\overrightarrow{x})$ を対応させる写像 $f(\overrightarrow{x})$ が次の性質 $(\ast)$ を持っている．

$(\ast)$ 任意の平面ベクトル $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ に対して， $f(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=f(\overrightarrow{a})+f(\overrightarrow{b})$ が成り立つ．

このとき，任意の平面ベクトル $\overrightarrow{x}$ に対して， $\displaystyle f \left( \dfrac{1}{3}\overrightarrow{x} \right) =\dfrac{1}{3}f(\overrightarrow{x})$ が成り立つことを証明せよ．

本問のテーマ

コーシーの関数方程式

2025.09.24記

[解答]
$\overrightarrow{y}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{x}$ とおくと
$f(\overrightarrow{x})$ $=f(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{y})$ $=f(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{y})+f(\overrightarrow{y})$ $=f(\overrightarrow{y})+f(\overrightarrow{y})+f(\overrightarrow{y})$ $=3f(\overrightarrow{y})$
が成立するので， $\displaystyle f \left( \dfrac{1}{3}\overrightarrow{x} \right) =\dfrac{1}{3}f(\overrightarrow{x})$ が成り立つ．

ここで一気に
$f(\overrightarrow{y}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{y})$ $=f(\overrightarrow{y})+f(\overrightarrow{y})+f(\overrightarrow{y})$
とするのは出題者の意図に似わない．というのも $(\ast)$ は2個の場合の線型性だから，それを3個の場合に適用するには「3個でも成立する証明」が必要だからである．実際本問は「3個の場合の線型性」を特殊な場合について証明せよという問題なのだから，それを明らかとしてはいけない．