https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Kouki_Ri

2025.09.23記

[2] 複素数 $z$ の絶対値を $|z|$ であらわす． $|(1+i)t+1+\alpha|\leqq1$ を満たす実数 $t$ が存在するような複素数 $\alpha$ の範囲を，複素平面上で図示せよ．(ただし， $i$ は虚数単位をあらわす．)
(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)

2025.09.24記

[解答]
式 $|(1+i)t+1+\alpha|\leqq1$ は複素平面上のパラメータ表示された直線 $-1-(1+i)t$ と $\alpha$ の距離が $1$ 以下という式であるから， $\alpha=x+yi$ （ $x，y$ は実数）とおくと $xy$ 平面の領域 $x+1-\sqrt{2}\leqq y\leqq x+1+\sqrt{2}$ に対応する（図示略）．

[解答]
$\alpha=x+yi$ とおくと $(x+t+1)^2+(y+t)^2\leqq 1$ を満たす実数 $t$ が存在するような $(x，y)$ の領域を求めれば良く，それは中心 $(-t-1，-t)$ （直線 $y=x+1$ 上），半径 $1$ の円の周または内部の通過領域であり，それは直線 $y=x+1$ との距離が $1$ 以下の点の集合だから $xy$ 平面の領域
$x+1-\sqrt{2}\leqq y\leqq x+1+\sqrt{2}$ に対応する（図示略）．

[別解]
$\alpha=x+yi$ とおくと $(x+t+1)^2+(y+t)^2\leqq 1$ ，すなわち $2t^2+2t(x+y+1)+x^2+y^2+2x\leqq 0$ を満たす実数 $t$ が存在するような $(x，y)$ の領域を求めれば良く，それは判別式から
$(x+y+1)^2-2(x^2+y^2+2x)\geqq 0$ ，
すなわち
$x^2+y^2-1+2x-2y-2xy\leqq 0$
となる．これは $(x-y+1)^2\leqq 2$ と変形できるので， $xy$ 平面の領域 $x+1-\sqrt{2}\leqq y\leqq x+1+\sqrt{2}$ に対応する（図示略）．