https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Kouki_Ri

2025.09.23記

[1] $x\geqq0$ に対して，関数 $f(x)$ を次のように定義する．

$f(x)=\begin{cases} x & (0 \leqq x \leqq 1 のとき) \\ 0 & (x\gt 1 のとき) \end{cases}$

このとき， $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n\int_0^1f(4nx(1-x))\, dx$ を求めよ．

2025.09.24記

[解答]
$4nx(1-x)=1$ を満たす $0\lt x\lt\dfrac{1}{2}$ なる解を $\alpha$ とおくと
$n\displaystyle\int_0^1f(4nx(1-x))\, dx$ $=8n^2\displaystyle\int_0^{\alpha} (x-x^2)\, dx$ $=8n^2\left(\dfrac{\alpha^2}{2}-\dfrac{\alpha^3}{3}\right)$ $=4(n\alpha)^2-\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{8(n\alpha)^3}{3}$
が成立する．ここで $\alpha=\dfrac{1}{4n(1-\alpha)}$ ， $0\lt\alpha\lt\dfrac{1}{2}$ から
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha=0$ であり， $n\alpha=\dfrac{1}{4(1-\alpha)}$ から
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n\alpha=\dfrac{1}{4}$ であるから，
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n\int_0^1f(4nx(1-x))dx$
$=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(4(n\alpha)^2-\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{8(n\alpha)^3}{3}\right)$
$=4\cdot\dfrac{1}{4^2}-0=\dfrac{1}{4}$
となる．

[大人の解答]
$\delta=\dfrac{1}{4n}$ とおき， $4nx(1-x)=1$ を満たす $0\lt x\lt\dfrac{1}{2}$ なる解を $\alpha$ とおくと
$\alpha=\dfrac{1-\sqrt{1-4\delta}}{2}$ $=\delta+O(\delta^2)$
であるから，
$I_n=n\displaystyle\int_0^1f(4nx(1-x))\, dx$ $=8n^2\displaystyle\int_0^{\alpha} x(1-x)\,dx$ $=8n^2\displaystyle\int_0^{\alpha} (x+O(x^2))\,dx$ $=8n^2\left(\alpha^2 +O(\alpha^3))\right)$
$=\dfrac{1}{4\delta^2}\left(\delta^2 +O(\delta^3))\right)$ $=\dfrac{1}{4}\left(1+O(\delta))\right)$
となり， $n\to\infty$ で $\delta\to +0$ であるから
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n\to\dfrac{1}{4}$ となる．