https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Kouki_Ri

2025.09.23記

[1] $x\geqq0$ に対して，関数 $f(x)$ を次のように定義する．

$f(x)=\begin{cases} x & (0 \leqq x \leqq 1 のとき) \\ 0 & (x\gt 1 のとき) \end{cases}$

このとき， $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n\int_0^1f(4nx(1-x))\, dx$ を求めよ．

[2] 複素数 $z$ の絶対値を $|z|$ であらわす． $|(1+i)t+1+\alpha|\leqq1$ を満たす実数 $t$ が存在するような複素数 $\alpha$ の範囲を，複素平面上で図示せよ．(ただし， $i$ は虚数単位をあらわす．)
(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)

[3] 平面ベクトル $\overrightarrow{x}$ に対して実数 $f(\overrightarrow{x})$ を対応させる写像 $f(\overrightarrow{x})$ が次の性質 $(\ast)$ を持っている．

$(\ast)$ 任意の平面ベクトル $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ に対して， $f(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=f(\overrightarrow{a})+f(\overrightarrow{b})$ が成り立つ．

このとき，任意の平面ベクトル $\overrightarrow{x}$ に対して， $\displaystyle f \left( \dfrac{1}{3}\overrightarrow{x} \right) =\dfrac{1}{3}f(\overrightarrow{x})$ が成り立つことを証明せよ．

[4] 水平面 $V$ 上の3点を $\mbox{O}$ ， $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ とする． $\mbox{A}$ は線分 $\mbox{OB}$ 上にあり，線分 $\mbox{AB}$ の長さは $1$ メートルであるとする． $\mbox{O}$ から， $V$ と垂直に棒が立っている．棒の先端 $\mbox{X}$ を $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ から見たときの仰角がそれぞれ ${45}^{\circ}$ ， ${44}^{\circ}$ であったという．棒の長さは何メートルか．小数点以下を四捨五入して答えよ．