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2004年(平成16年)京都大学後期-数学(文系)[3]

2025.09.23記

[3] 関数 $f(x)$ が次の $2$ つの性質(1)，(2)を持つという．

(1) 任意の実数 $x$ ， $y$ に対して， $f(x+y)=f(x)f(y)$ が成り立つ．

(2) $f(3)=8$

このとき， $f(1)=2$ であることを証明せよ．(ただし， $f(x)$ は実数であるとする．)

本問のテーマ

コーシーの関数方程式（指数関数）

2025.09.24記

[解答]
$f(1)=a$ とおくと， $f(2)=f(1)f(1)=a\cdot a=a^2$ ， $f(3)=f(2)f(1)=a^2\cdot a=a^3=8$ となり， $a$ は実数により $a=2$ となる．

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