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2004年(平成16年)京都大学後期-数学(文系)[2]

2025.09.23記

[2] $x\geqq0$ に対して，関数 $f(x)$ を次のように定義する．

$f(x)=\begin{cases} x & (0 \leqq x \leqq 1 のとき) \\ 0 & (x\gt 1 のとき) \end{cases}$

自然数 $k$ に対して， $\displaystyle\int_0^3f \left(\dfrac{x^2}{k}\right)\, dx$ を求めよ．

2025.09.24記

[解答]
(i) $k\geqq 9$ のとき
$\displaystyle\int_0^3f \left(\dfrac{x^2}{k}\right)\, dx$ $=\displaystyle\int_0^3\dfrac{x^2}{k}\, dx=\dfrac{9}{k}$ ，

(ii) $k\lt 9$ のとき
$\displaystyle\int_0^3f \left(\dfrac{x^2}{k}\right)\, dx$ $=\displaystyle\int_0^{\sqrt{k}} \dfrac{x^2}{k}\, dx=\dfrac{\sqrt{k}}{3}$

となる．

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