https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Bunkei

2025.09.08記

[4] $c$ を実数とする． $x$ についての2次方程式 $x^2+(3-2c)x+c^2+5=0$ が2つの解 $\alpha$ ， $\beta$ を持つとする．複素平面上の3点 $\alpha$ ， $\beta$ ， $c^2$ が3角形の3頂点になり，その3角形の重心は $0$ であるという． $c$ を求めよ．
(注意：複素平面のことを複素数平面ともいう)

2025.09.23記

[解答]
解と係数の関係により $\alpha+\beta=2c-3$ ， $\alpha\beta=c^2+5$ であり，三角形の重心が $0$ により $\alpha+\beta+c^2=0$ であるから $c^2+2c-3=0$ ，つまり $c=1，-3$ となる．

よって $c=1$ のとき $\alpha，\beta$ は $x^2+x+6=0$ の2解であるから $\{\alpha，\beta\}=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{23}i}{2}，\dfrac{-1+\sqrt{23}i}{2}\right\}$ となり， $\alpha，\beta，c^2$ は実数と1組の共役な虚数なので三角形をなし，適する．また $c=-3$ のとき $\alpha，\beta$ は $x^2+9x+14=0$ の2解であるから $\{\alpha，\beta\}=\{-2，-7\}$ となり， $\alpha，\beta，c^2$ は3つの実数なので三角形をなさず，不適．

よって $c=1$ である．