https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2004/Bunkei

2025.09.08記

[3] $\triangle\mbox{OAB}$ において， $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mbox{OA}}$ ， $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mbox{OB}}$ とする．

$|\overrightarrow{a}|=3$ ， $|\overrightarrow{b}|=5$ ， $\cos(\angle\mbox{AOB})=\dfrac{3}{5}$

とする．このとき， $\angle\mbox{AOB}$ の2等分線と， $\mbox{B}$ を中心とする半径 $\sqrt{10}$ の円との交点の， $\mbox{O}$ を原点とする位置ベクトルを， $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ を用いてあらわせ．

2025.09.23記

[解答]
$\angle\mbox{AOB}$ の2等分線と， $\mbox{AB}$ の交点を $\mbox{D}$ とおくと $\overrightarrow{\mbox{OD}}=\dfrac{1}{8}(5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$ であるから， $\overrightarrow{\mbox{OP}}=k(5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$ とおけ，このとき
$\overrightarrow{\mbox{BP}}=5k\overrightarrow{a}+(3k-1)\overrightarrow{b}$
となる． $\angle\mbox{OAB}=90^{\circ}$ により $\overrightarrow{a}\bullet \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|^2=9$ であるから
$|\overrightarrow{\mbox{BP}}|^2=25k^2\cdot 9 + 10k(3k-1)\cdot 9 +(3k-1)^2\cdot 25=10$ ，
つまり $15(12k-1)(4k-1)=0$ となるので
$\overrightarrow{\mbox{OP}}=\dfrac{1}{12}(5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$ ， $\dfrac{1}{4}(5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$
となる．

[別解]
$\mbox{O}(0，0)$ ， $\mbox{A}(3，0)$ ， $\mbox{B}(3，4)$ とおくと， $\mbox{OP}:y=\dfrac{1}{8}x$ ， $C:\,(x-3)^2+(y-4)^2=10$ となるので $\mbox{P}$ の $x$ 座標は $C:\,(x-3)^2+\left(\dfrac{x}{2}-4\right)^2=10$ から $x=2，6$ となる．

よって $\mbox{P}(2，1)，(6，3)$ となる．ここで
$(2，1)=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{4}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$ $=\dfrac{1}{12}(5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$
であるから，
$\overrightarrow{\mbox{OP}}=\dfrac{1}{12}(5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$ ， $\dfrac{1}{4}(5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b})$
となる．