2004年(平成16年)京都大学前期-数学(文系)[2]

2025.09.08記

[1] $f(\theta)=\cos 4\theta-4\sin^2\theta$ とする． $0^{\circ} \leqq \theta \leqq {90}^{\circ}$ における $f(\theta)$ の最大値および最小値を求めよ．

[2] 区間 $-1 \leqq x \leqq 1$ で定義された関数 $f(x)$ が， $f(-1)=f(0)=1$ ， $f(1)=-2$ を満たし，またそのグラフが右図のようになっているという．

このとき， $\displaystyle\int_{-1}^1f(x)\,dx\geqq-1$ を示せ．

2025.09.23記

[解答]
$\displaystyle\int_{-1}^1f(x)\, dx$ $\geqq \displaystyle\int_{-1}^0 1\, dx$ $+\displaystyle\int_{0}^1(-2)\, dx$ $=1-2=-1$
が成り立つ．

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