https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Rikei

2025.08.15記

[6] $n$ チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて $\dfrac{1}{2}$ で，各回の勝敗は独立に決まるものとする．このとき， $(n-2)$ 勝 $1$ 敗のチームがちょうど $2$ チームである確率を求めよ．ただし， $n$ は $3$ 以上とする．

2025.08.15記

[解答]
全部で試合は ${}_n\mbox{C}_2$ 回ある．

チーム $A$ はチーム $B$ にだけ負けて $(n-2)$ 勝 $1$ 敗，チーム $B$ は（チーム $A$ に勝ち）チーム $C$ にだけ負けて $(n-2)$ 勝 $1$ 敗であったとする．このときチーム $C$ は $A，B$ に対して $1$ 勝 $1$ 敗なので，残りの $n-3$ チームのうちどこかに負けなければならない．そしてこのとき， $A，B，C$ 以外のチームは $A，B$ に負けているので $(n-2)$ 勝 $1$ 敗にはならない．

つまり，チーム $A$ ， $B$ ， $C$ を選ぶ（ $n(n-1)(n-2)$ 通り）と $A$ ， $B$ が関わる試合 $2n-3$ 試合の勝敗は決定しており（確率 $\dfrac{1}{2^{2n-3}}$ ）， $C$ の $A，B$ 以外との対戦 $n-3$ 試合が全勝でなければ良く（確率 $1-\dfrac{1}{2^{n-3}}$ ），そして残りの試合の勝敗はどうでも良い（確率 $1$ ）ことになる．

よって求める確率は
$n(n-1)(n-2)\cdot \dfrac{1}{2^{n-3}}\cdot \left(1-\dfrac{1}{2^{n-3}}\right)\cdot 1$ $=\dfrac{n(n-1)(n-2)(2^{n-3}-1)}{2^{3n-6}}$
となる．