https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Rikei

2025.08.15記

[5] $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を実数とする．2次の正方行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と2次の単位行列 $E$ に対して，集合 $L(A)$ を $L(A)= \{ rE+sA | r，s\text{は実数} \}$ とする．このとき次の条件 $(\ast)$ が成立するための， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ についての必要十分条件を求めよ．

$(\ast)$ $L(A)$ の要素 $B$ は零行列でなければ逆行列をもつ

本問のテーマ

Jordan 標準形

2025.08.15記
$A$ の固有値を $\alpha，\beta$ とすると， $rE+sA$ の固有値は $r+s\alpha，r+s\beta$ となるので，求める必要十分条件は

(i) $\alpha，\beta$ は虚数

(ii) $\alpha，\beta$ が実数のときは $r+s\alpha，r+s\beta$ の片方だけが $0$ になってはならないので， $\alpha=\beta$ であることが必要で，そのときの Jordan 標準形は $\alpha E$ でなければならない．

のいずれかが成立することである（零行列でなく固有値が0で重解となる場合を除かなければならないのが肝である）．

[大人の解答]
求める必要十分条件は(i) $A$ の固有値が虚数である，または (ii) $A$ が単位行列の定数倍である，のいずれかが成り立つことであるから，

$(a-b)^2+4bc\lt 0$ または「 $a=d$ かつ $b=c=0$ 」

となる．

まぁ，普通に計算すれば良い．

[解答]
(a) $A$ が $E$ の実数倍のとき $rE+sA$ も $E$ の実数倍となるので $(\ast)$ を満たす．

(b) $A$ が $E$ の実数倍でないとき $rE+sA=O$ となるのは $r=s=0$ の場合だけなので， $(r，s)\neq (0，0)$ ならば $rE+sA$ が必ず逆行列を持つような $A$ の条件を求めれば良い．

ここで $s=0$ のときは $rE$ について考えれば良く，(a)と同様に $(\ast)$ を満たすので， $s\neq 0$ ならば $rE+sA$ が必ず逆行列を持つような $A$ の条件を求めれば良い．

さて， $\mbox{det}(rE+sA)$ $=r^2+(a+d)rs+(ad-bc)s^2$ であるから，これが $s\neq 0$ ならば必ず判別式が負となれば良く，よって
$(a+d)^2s^2-4(ad-bc)s^2=s^2\{(a-d)^2+4bc\}\lt 0$
が $s\neq 0$ ならば負となる条件を求めれば良いので，求める条件は $(a-b)^2+4bc\lt 0$ となる．

以上から求める条件は

「 $a=d$ かつ $b=c=0$ 」または $(a-b)^2+4bc\lt 0$

となる．