https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Rikei

2025.08.15記

[4] 多項式 $(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1$ は多項式 $x^2+x+1$ で割り切れるか．

2025.08.15記

[解答]
$x^2+x+1=0$ の解の1つを $\omega$ とおくと， $\omega$ は虚数である．
$f(x)=(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1$ とし， $f(x)=(x^2+x+1)P(x)+qx+r$
（ $q，r$ は実数）
とおくと　 $\omega^3=1$ であるから，
$f(\omega)=(\omega+1)^{100}+(-\omega)^{100}+1$ $=(-\omega^2)^{100}+(-\omega^2)^{100}+1$ $=\omega^2+\omega+1=0$
となり，
$0=f(\omega)=(\omega^2+\omega+1)P(x)+q\omega+r$ $=q\omega+r=0$
が成立する． $\omega$ は虚数， $q，r$ は実数であるから $q=r=0$ となり，よって
$f(x)$ は $x^2+x+1$ で割き切れる．

$f(\omega)=f(\overline{\omega})=0$ ， $\omega\neq\overline{\omega}$ から $f(x)$ は $(x-\omega)(x-\overline{\omega})=x^2+x+1$ で割り切れる，という流れでも良い．今回は実数係数に対して虚数を考えると実部と虚部の2つの情報がある(それを組み合わせると，虚数と共役複素数の2つの情報になる)ことを利用した．