https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Rikei

2025.08.15記

[3] 四面体 $\mbox{OABC}$ は次の2つの条件

(i) $\mbox{OA}\perp\mbox{BC}$ ， $\mbox{OB}\perp\mbox{AC}$ ， $\mbox{OC}\perp\mbox{AB}$

(ii) 4つの面の面積がすべて等しい

をみたしている．このとき，この四面体は正四面体であることを示せ．

2025.08.15記
理系では
$\mbox{OA}\perp\mbox{BC}$ ， $\mbox{OB}\perp\mbox{AC}$ ， $\mbox{OC}\perp\mbox{AB}$
となっているが文系では
$\overrightarrow{\mbox{OA}}\perp\overrightarrow{\mbox{BC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OB}}\perp\overrightarrow{\mbox{AC}}$ ， $\overrightarrow{\mbox{OC}}\perp\overrightarrow{\mbox{AB}}$
となっている．これは文系に対しては「ベクトルで考えよ」という誘導になっているのだろう．

[解答]
位置ベクトルの始点を $\mbox{O}$ とし， $\overrightarrow{\mbox{OA}}=\vec{a}$ などとおくと，

(i) より
$\vec{a}\bullet\vec{b}=\vec{b}\bullet\vec{c}=\vec{c}\bullet\vec{a}$ が成立し，(ii) より
$4\triangle\mbox{OAB}^2$ $=4\triangle\mbox{OBC}^2$ $=4\triangle\mbox{OCA}^2$
から
$|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2-(\vec{a}\bullet\vec{b})^2$ $=|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2-(\vec{b}\bullet\vec{c})^2$ $=|\vec{c}|^2|\vec{a}|^2-(\vec{c}\bullet\vec{a})^2$
が成立するので，
$|\vec{a}|^2|\vec{b}|^2$ $=|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2$ $=|\vec{c}|^2|\vec{a}|^2$
が成立し， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ は零ベクトルではないことから
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$
が成立する．つまり $\mbox{O}$ を含む3辺の長さは等しい．

位置ベクトルの始点を $\mbox{A}，\mbox{B}$ としても同様に　 $\mbox{A}$ を含む3辺の長さも等しく， $\mbox{B}$ を含む3辺の長さも等しくなるので，四面体の6辺の長さは等しくなり，よってこの四面体は正四面体である．

あえてベクトルを使わないのであれば次のような解答が考えられる．

[別解]
$\mbox{OA}$ を含み $\mbox{BC}$ に垂直な平面を $\Pi$ とし， $\Pi$ と直線 $\mbox{BC}$ の交点を $\mbox{M}$ とおき， $\Pi$ と $\triangle\mbox{OAB}$ のなす角度を $\beta$ ， $\Pi$ と $\triangle\mbox{OAC}$ のなす角度を $\gamma$ とすると
$\triangle\mbox{OAB}\cos\beta=\triangle\mbox{OAM}$ ，
$\triangle\mbox{OAC}\cos\gamma=\triangle\mbox{OAM}$
であるから， $\cos\beta=\cos\gamma$ となる．よって $\mbox{M}$ は $\mbox{BC}$ の中点である．

このとき， $\mbox{OM}\perp\mbox{BC}$ となるので $\triangle\mbox{OBC}$ は2等辺三角形となり，
$\mbox{OB}=\mbox{OC}$ が成立する．そして同様に $\mbox{AB}=\mbox{AC}$ が成立する．

また， $\mbox{OA}$ と $\mbox{BC}$ を逆に考えれば　 $\mbox{OC}=\mbox{AC}$ ， $\mbox{AB}=\mbox{OB}$ が成立する．

つまり， $\mbox{OA}\perp\mbox{BC}$ と(ii)から $\mbox{OA}，\mbox{BC}$ 以外の4辺の長さが等しいことがわかった．同様に $\mbox{OB}\perp\mbox{AC}$ と(ii)から $\mbox{OB}，\mbox{AC}$ 以外の4辺の長さが等しいことが導けるので，よって四面体の6辺の長さは等しく，よってこの四面体は正四面体である．