https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Rikei

2025.08.15記

[2] $f(x)=x\sin x$ $(x \geqq 0)$ とする．点 $\displaystyle \left( \dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2} \right)$ における $y=f(x)$ の法線と， $y=f(x)$ のグラフの $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の部分，および $y$ 軸とで囲まれる図形を考える．この図形を $x$ 軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ．

本問のテーマ

瞬間部分積分法

2025.08.15記

[解答]
$f'(x)=\sin x+x\cos x$ により $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ だから，法線の方程式は $y=\pi-x$ となる．

よって求める体積 $V$ は，円錐台の体積を利用すると
$V=\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot \pi^2\cdot \pi$
$-\displaystyle\int_0^{\pi/2} \pi x^2\sin^2 x\, dx$
$=\dfrac{7}{24} \pi^4$ $-\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2(1-\cos 2 x)\, dx$
$=\dfrac{7}{24} \pi^4$ $-\dfrac{\pi}{6}\cdot\dfrac{\pi^3}{8}$ $+\dfrac{\pi}{2}\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2\cos 2 x\, dx$

となる．ここで
$\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2\cos 2x\, dx$
$=\Bigl[x^2\cdot \left(\dfrac{\sin 2x}{2}\right)-2x\cdot\left(-\dfrac{\cos 2x}{4}\right)+2\cdot \left(-\dfrac{\sin 2x}{8}\right)\Bigr]_0^{\pi/2}$
$=-2\cdot\dfrac{\pi}{2}\cdot\left(-\dfrac{-1}{4}\right)=-\dfrac{\pi}{4}$
であるから，
$V=\dfrac{13}{48} \pi^4-\dfrac{\pi^2}{8}$
となる．