2003年(平成15年)京都大学前期-数学(理系)[1]

2025.08.15記

[1] 正の数からなる数列 $\{a_n\}$ が次の条件(i)，(ii)をみたすとき， $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ．

(i) $a_1=1$

(ii) $\log a_n - \log a_{n-1} = \log(n-1)-\log(n+1)$ $(n \geqq 2)$

2025.08.15記

[解答]
$\log \{(n+1)na_n\}=\log \{n(n-1)a_{n-1}\}$ により $(n+1)na_n=2a_1=2$ となるので， $a_n=\dfrac{2}{n(n+1)}=2\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$ が成立する．よって
$\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k=2\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)$
である．

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