https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Rikei

2025.08.15記

[1] 正の数からなる数列 $\{a_n\}$ が次の条件(i)，(ii)をみたすとき， $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ を求めよ．

(i) $a_1=1$

(ii) $\log a_n - \log a_{n-1} = \log(n-1)-\log(n+1)$ $(n \geqq 2)$

[2] $f(x)=x\sin x$ $(x \geqq 0)$ とする．点 $\displaystyle \left( \dfrac{\pi}{2}，\dfrac{\pi}{2} \right)$ における $y=f(x)$ の法線と， $y=f(x)$ のグラフの $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の部分，および $y$ 軸とで囲まれる図形を考える．この図形を $x$ 軸の回りに回転して得られる回転体の体積を求めよ．

[3] 四面体 $\mbox{OABC}$ は次の2つの条件

(i) $\mbox{OA}\perp\mbox{BC}$ ， $\mbox{OB}\perp\mbox{AC}$ ， $\mbox{OC}\perp\mbox{AB}$

(ii) 4つの面の面積がすべて等しい

をみたしている．このとき，この四面体は正四面体であることを示せ．

[4] 多項式 $(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1$ は多項式 $x^2+x+1$ で割り切れるか．

[5] $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ を実数とする．2次の正方行列 $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ と2次の単位行列 $E$ に対して，集合 $L(A)$ を $L(A)= \{ rE+sA | r，s\text{は実数} \}$ とする．このとき次の条件 $(\ast)$ が成立するための， $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ についての必要十分条件を求めよ．

$(\ast)$ $L(A)$ の要素 $B$ は零行列でなければ逆行列をもつ

[6] $n$ チームがリーグ戦を行う．すなわち，各チームは他のすべてのチームとそれぞれ1回ずつ対戦する．引き分けはないものとし，勝つ確率はすべて $\dfrac{1}{2}$ で，各回の勝敗は独立に決まるものとする．このとき， $(n-2)$ 勝 $1$ 敗のチームがちょうど $2$ チームである確率を求めよ．ただし， $n$ は $2$ 以上とする．

2003年(平成15年)京都大学前期-数学(理系)[1] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2003年(平成15年)京都大学前期-数学(理系)[2] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2003年(平成15年)京都大学前期-数学(理系)[3] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2003年(平成15年)京都大学前期-数学(理系)[4] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2003年(平成15年)京都大学前期-数学(理系)[5] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR
2003年(平成15年)京都大学前期-数学(理系)[6] - [別館]球面倶楽部零八式markIISR