https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Kouki_Ri

2025.08.15記

[5] 極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}{(-1)}^k{\left(\dfrac{k}{2n}\right)}^{100}$ を求めよ．

2025.09.06記
区分求積にもち込むには，うまく $\dfrac{1}{n}$ を捻り出さないといけません．

[解答]
$\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{(-1)}^k{\left(\dfrac{k}{2n}\right)}^{100}$
$=\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left\{\left(\dfrac{2m}{2n}\right)^{100}-\left(\dfrac{2m-1}{2n}\right)^{100}\right\}$
$=\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\dfrac{50m^{99}+(mの98次以下の多項式)\quad\quad\quad}{n^{100}}$
$=50\cdot \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left(\dfrac{m}{n}\right)^{99}$ $+\dfrac{1}{n^{100}}\displaystyle\sum_{m=1}^{n}(mの98次以下の多項式)$
となる．ここで $\displaystyle\sum_{m=1}^{n}(mの98次以下の多項式)$ は $n$ の99次以下の多項式であるから，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{100}}\displaystyle\sum_{m=1}^{n}(mの98次以下の多項式)$ $=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{(nの99次以下の多項式)\quad\quad\quad}{n^{100}}=0$
となるので，
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}{(-1)}^k{\left(\dfrac{k}{2n}\right)}^{100}$ $=50\cdot \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left(\dfrac{m}{n}\right)^{99}$ $=50\cdot \displaystyle\int_0^1 x^{99}\,dx$ $=50\cdot\dfrac{1}{100}$ $=\dfrac{1}{2}$
となる．

[解答]では差分から $\dfrac{1}{n}$ を捻り出しましたが，微分（平均値の定理）から $\dfrac{1}{n}$ を捻り出すこともできます．

[別解]
$f(x)=x^{100}$ とおくと
$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2n}{(-1)}^k f\left(\dfrac{k}{2n}\right)$ $=\displaystyle\sum_{m=1}^{n}\left\{f\left(\dfrac{2m}{2n}\right)-f\left(\dfrac{2m-1}{2n}\right)\right\}$
となるが，平均値の定理により
$S_n=\dfrac{1}{2n}\displaystyle\sum_{m=1}^{n} f'\left(\dfrac{2m-c_m}{2n}\right)$ $=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{m=1}^{n} f'\left(\dfrac{m-c_m/2}{n}\right)$
を見たす $0\lt c_m\lt 1$ が存在する．

よって区分求積法により
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n=\displaystyle\int_0^1 f'(x)\, dx$ $=\dfrac{1}{2}\{f(1)-f(0)\}$ $\dfrac{1}{2}(1^{100}-0^{100}=\dfrac{1}{2}$
となる．