https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Kouki_Ri

2025.08.15記

[4] $\{a_n\}$ を正の数からなる数列とし， $p$ を正の実数とする．このとき $\displaystyle a_{n+1}\gt \dfrac{1}{2}a_n-p$ をみたす番号 $n$ が存在することを証明せよ．

2025.09.06記
まぁ，問題文からして背理法．

[解答]
そのような番号 $n$ が存在しないと仮定すると，任意の自然数 $n$ に対して
$a_{n+1}+2p\leqq\dfrac{1}{2}(a_n+2p)$
が成立するので，この漸化式から
$a_n\leqq -2p+\dfrac{1}{2^{n-1}}(a_1+2p)$
となるが，右辺は $n\to\infty$ で負の数 $-2p$ に近づくので $a_n\lt 0$ となる $n$ が存在することとなり， $\{a_n\}$ を正の数からなる数列であることに矛盾する．よって $\displaystyle a_{n+1}\gt \dfrac{1}{2}a_n-p$ をみたす番号 $n$ が存在する．