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2003年(平成15年)京都大学後期-数学(理系)[3]

2025.08.15記

[3] $a$ ， $b$ を実数とする．3次方程式 $x^3+ax^2+bx+1=0$ は3つの複素数からなる解 $\alpha_1$ ， $\alpha_2$ ， $\alpha_3$ をもち，相異なる $i$ ， $j$ に対し $|\alpha_i-\alpha_j|=\sqrt{3}$ をみたしている．このような $a$ ， $b$ の組をすべて求めよ．

2025.09.06記

[解答]
3つの解が複素数平面で1辺の長さが $\sqrt{3}$ の正三角形をなし，その1つが実数であることから，3つの解は実数 $p$ を用いて
$p+1$ ， $p-\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$ ， $p-\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$ …①
または
$p-1$ ， $p+\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$ ， $p+\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$ …②
の形である．

①のとき， $(x-p)^3=1$ から $a=-3p$ ， $b=3p^2$ ， $1=-p^3-1$ より $p=-\sqrt[3]{2}$ となり， $a=3\sqrt[3]{2}$ ， $b=3\sqrt[3]{4}$ となる．

②のとき， $(x-p)^3=-1$ から $a=-3p$ ， $b=3p^2$ ， $1=-p^3+1$ より $p=0$ となり， $a=0$ ， $b=0$ となる．

よって $(a，b)=(0，0)，(3\sqrt[3]{2}，3\sqrt[3]{4})$ となる．

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