https://spherical-harmonics.hateblo.jp/entry/Kyodai/2003/Kouki_Ri

2025.08.15記

[2] 一辺の長さが1の正三角形 $\mbox{ABC}$ の辺 $\mbox{AC}$ 上に点 $\mbox{D}$ をとり，線分 $\mbox{BD}$ に沿ってこの三角形を折り曲げ，4点 $\mbox{A}$ ， $\mbox{B}$ ， $\mbox{C}$ ， $\mbox{D}$ を頂点とする四面体を作り，その体積を最大にすることを考える．体積が最大になるときの $\mbox{D}$ の位置と，そのときの四面体の体積を求めよ．

本問のテーマ

正弦の和と差の積は平方の差

2025.09.06記
$\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^2\alpha-\sin^2\beta=\cos^2\beta-\cos^2\alpha$ である．

[解答]
$\mbox{A}$ から $\mbox{BD}$ に下した垂線の足を $\mbox{P}$ ， $\mbox{C}$ から $\mbox{BD}$ に下した垂線の足を $\mbox{Q}$ ，四面体における面 $\mbox{ABD}$ と面 $\mbox{CBD}$ のなす角度を $\theta$ とすると，四面体の体積は $V=\dfrac{1}{6}\mbox{BD}\cdot\mbox{AP}\cdot\mbox{CQ}\cdot\sin\theta$ であるから， $\mbox{D}$ を固定したときは $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ のときに最大となり，このとき $V=\dfrac{1}{6}\mbox{BD}\cdot\mbox{AP}\cdot\mbox{CQ}$ である…(★)．

$\angle\mbox{CBD}=\dfrac{\pi}{6}+\beta$ （ $-\dfrac{\pi}{6}\lt\beta\lt\dfrac{\pi}{6}$ ）とおくと
$\mbox{AP}=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\beta\right)$ ， $\mbox{CQ}=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\beta\right)$ ， $\mbox{BD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\beta$
であるから，(★)のとき
$V=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\cdot\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}{6}-\beta\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{6}+\beta\right)}{\cos\beta}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\cdot\dfrac{\cos^2\beta-\dfrac{3}{4}}{\cos\beta}$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{12}\left(\cos\beta-\dfrac{3}{4\cos\beta}\right)$
は偶関数であり， $\beta\geqq 0$ で $\cos\beta$ ， $-\dfrac{1}{\cos\beta}$ は単調減少であるから， $V$ も単調減少となり，よって $V$ は $\beta=0$ で最大値 $=\dfrac{\sqrt{3}}{48}$ をとる．このとき $\mbox{D}$ は $\mbox{AC}$ の中点である．

京大入試で「正弦の和と差の積は平方の差」を使う問題は結構多い印象．

[うまい解答]
（[解答]の(★)から）
$V=\dfrac{1}{6}\mbox{BD}\cdot\mbox{AP}\cdot\mbox{CQ}$ $=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{\triangle\mbox{ABD}\cdot\triangle\mbox{CBD}}{\mbox{BD}}$
であり，
$\triangle\mbox{ABD}+\triangle\mbox{CBD}=\triangle\mbox{ABC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ により AM-GM不等式から
$\triangle\mbox{ABD}\cdot\triangle\mbox{CBD}\leqq \left(\dfrac{\triangle\mbox{ABC}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{64}$
（等号は $\triangle\mbox{ABD}=\triangle\mbox{CBD}$ だから $\mbox{D}$ が $\mbox{AC}$ の中点）
となり，また $\dfrac{1}{\mbox{BD}}\leqq\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ （等号は $\mbox{D}$ が $\mbox{AC}$ の中点）であるから
$V\leqq\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{64}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{16\sqrt{3}}$
（等号は $\mbox{D}$ が $\mbox{AC}$ の中点）
となる．

\mbox{BD}\cdot\mbox{AP}\cdot\mbox{CQ}] である…(★)．